1.50
∆
x
≈
v m
h
∆ ≈
1 3
2 1
2 34
s m
10 x
5 x
kg 10
s m
kg 10
x 6,626
− −
− −
−
≈
1,323.10
-
29
m Hasil ini jelas merupakan harga ketidak-pastian jarak yang sangat kecil, yang tidak
mempunyai konsekuensi apapun sehingga dapat diabaikan bukan Contoh perhitungan di atas jelas menunjukkan kesejajaran terhadap sifat
gelombang suatu partikel menurut de Broglie. Dengan demikian, sifat ketidak-pastian ini sangat signifikan untuk partikel-partikel atomik. Prinsip ketidak-pastian ini jelas
bertentangan
dengan asumsi Bohr yang menyatakan bahwa elektron dalam atom hidrogen mempunyai orbit tertentu dengan jari-jari
r tertentu pula; ini berarti bahwa ketidak-pastian posisi,
∆
r, adalah nol. Menurut Heisenberg, adalah tidak mungkin untuk mengetahui bahwa
∆
r = nol tanpa mengetahui ketidak pastian totalnya. Jadi, jejak elektron tidak lagi dapat ditentukan kepastiannya secara matematik dan sebagai
gantinya adalah berupa pita ketidak-pastian bagi elektron yang bergerak bebas dengan
karakteristika gelombang. Oleh karena keadaan elektron tidak lagi dapat dilukiskan secara pasti, maka
muncul pendekatan peluang probabilitas mendapatkan elektron yang diasosiasikan
dengan fungsi gelombang elektron yang bersangkutan yang dibahas dalam apa yang
disebut sebagai mekanika gelombang atau kimia kuantum. Oleh karena itu, mempelajari
fungsi gelombang elektron merupakan langkah yang fundamental untuk keperluan elusidasi struktur atom lebih lanjut. Walaupun materi ini sangat rumit, ada bagian-
bagian yang perlu dikenal saja sebelum sampai pada kesimpulan utama yang mendasar.
3.5 Fungsi Gelombang
Atom hidrogen dan sistem bak-hidrogen hydrogen-like system adalah spesies
dengan sebuah elektron; misalnya, He
+
, dan Li
2+
, merupakan sistem yang paling sederhana. Menurut Erwin Schrödinger 1927, persamaan gelombang stasioner - bebas
waktu untuk sistem tersebut dinyatakan dalam persamaan 3-4, yang cukup rumit penurunanya tidak kita bicarakan.
∇
2
Ψ
x,y,z
+
−
2 2
V
Ε
h m
ο
π
8
Ψ
x,y,z
= 0
.........
3.4 dengan :
Ψ
psi = fungsi gelombang elektron; m
o
= massa elektron diam
∇
2
nabla
≡
2 2
x
∂ ∂
+
2 2
y ∂
∂
+
2 2
z
∂ ∂
= Operator Laplace
1.51 =
∂ ∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂ ∂
∂ ∂
2 2
2 2
2 2
2
1 1
1 ϕ
θ θ
θ θ
θ sin
r sin
sin r
r r
r r
E = E
k
+ V = energi total elektron adalah jumlah energi kinetik, E
k
, dengan energi potensial,
V. V = -
r e
Z
ο
ε π
4
2
= energi potensial elektron dengan muatan e dan
berjarak r terhadap inti yang mempunyai muatan Z
h = tetapan Planck, dan x, y, z = sumbu-sumbu koordinat Cartes. Ada dua perbedaan pokok teori atom menurut Bohr dengan teori atom mekanika
gelombang yaitu: 1
berbeda dengan asumsi Bohr bahwa elektron sebagai partikel mengorbit dalam
bentuk lingkaran, Schrödinger melukiskan elektron sebagai gelombang dengan
jejak menurut persamaan gelombang 3.4 tersebut, dan 2
demikian juga dengan asumsi Bohr bahwa momentum sudut elektron dalam
orbitnya bersifat kuantum mvr = nh 2
π
, sebaliknya Schrödinger mengidentifikasi
frekuensi sifat gelombang elektron dengan energi yang memenuhi asumsi Einstein, E = h
ν
. Persamaan
3.4 tersebut
yang mengandung koordinat Cartes
x, y, dan z, dapat lebih mudah diselesaikan dalam
bentuk persamaan dengan koordinat sferis- bola atau kutub-polar
r, θ
,
φ
dengan harga-harga
r = 0 -
∞
, θ
= 0
o
-
π
, dan
φ
= 0
o
- 2
π
. Informasi mengenai transformasi antara
kedua macam
koordinat ini
diperoleh dari
Gambar 3.5
yang memberikan empat rumusan pokok yaitu:
z = r cos θ
; x = r sin
θ cos
φ
; y = r sin
θ sin
φ
; dan r
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
... .....
3.5 Penyelesaian persamaan 3.4 setelah ditransformasi ke dalam koordinat bola
dapat dituliskan secara umum sebagai:
Ψ
r, θ
, φ
= R r .
Θ
θ .
Φ φ
.................
3.6 Gambar 3.5 Sebuah titik P elektron
dalam sistem koordinat Cartes dan koordinat kutub - bola
P
r
φ θ
y
+
O
z
+
x
+
P
1
P
2
P
3
P
4
1.52 Persamaan 3.6 menunjukkan produk dari tiga macam fungsi R,
Θ
, dan
Φ
dengan tiga macam variabel secara berurutan r,
θ dan
φ
yang tersusun secara terpisah. Pemeriksaan lebih lanjut menunjukkan adanya besaran-besaran tertentu yang
mengontrol harga masing-masing, fungsi Radial- jarak, R r, fungsi sudut,
Θ
θ dan
Φ φ
; besaran-besaran ini adalah n,
ℓ
, dan m, yang kemudian disebut sebagai bilangan
kuantum yang ternyata muncul secara matematis - alamiah sebagai konsekuensi penyelesaian persamaan fungsi gelombang 3.4. Oleh karena itu, persamaan 3.6
menjadi lebih informatif bila dituliskan dalam bentuk persamaan 3.7 yang mengandung variabel
n, , dan m sebagai bilangan kuantum yang mengontrol harga- harga masing-masing fungsi sebagai berikut:
Ψ
n, ,m
r, θ
, φ
= R
n,
r .
Θ ,
m
θ .
Φ
m
φ
..............
3.7 Dengan demikian, fungsi gelombang elektron dapat diformulasikan sebagai
produk tiga fungsi gelombang, masing-masing terdiri atas satu variabel yang berbeda satu dengan yang lain yaitu:
1 fungsi gelombang Radial,
Ψ
r
= R
n,
r , yang bergantung pada variabel r yaitu jarak elektron titik P terhadap inti atom sebagai titik pusat sumbu; fungsi
ini harganya ditentukan oleh bilangan kuantum n dan .
2 fungsi gelombang sudut,
Ψ
θ
=
Θ
, m
θ , yang bergantung pada variabel sudut
θ ; fungsi ini harganya ditentukan oleh bilangan kuantum dan
m. 3
fungsi gelombang sudut
Ψ φ
=
Φ
m
φ
, yang bergantung pada variabel sudut
φ ;
fungsi ini harganya ditentukan hanya oleh bilangan kuantum m.
Detil transformasi kedalam koordinat kutub agar diperoleh bentuk umum persamaan 3.7, dan penyelesaiannya secara terpisah adalah masalah matematik dan
sangat rumit, dan ini jelas diluar bidang pembicaraan ini. Namun,
agar tidak menimbulkan miskonsepsi
,
hasil akhir perlu ditampilkan dan dipahami
lebih lanjut yakni sebagai berikut:
Ψ
n, ,m
r, θ
,φ
=
ϕ
θ π
im m
n a
n Zr
e Cos
P a
n r
Z L
a n
r Z
e a
n m
n Z
n m
. .
2 2
] [
1 1
2
1 2
3 3
4 3
+ +
− −
− +
+ +
− ..............
3.8
1.53 Hasil penyelesaian matematis tersebut sangat rumit bukan? Namun, jika kita teliti
lebih cermat kita akan temukan esensi yang
harus kita ketahui
yakni bahwa hasil ini
hanya
ditentukan oleh
faktorial n- -1, dan ± |m|
Ingatkah Anda informasi yang telah kita terima di SMA, bahwa “faktorial”
tidak
boleh berharga negatif dan pecahan? Faktorial inilah yang memberikan pembatasan-pembatasan terhadap harga-harga n, ,
m tepatnya m
ℓ
, dan kombinasinya yakni bahwa: a. n dan merupakan bilangan diskret, positif bulat integer 1; harga-harga ini
adalah, n
≥
+ 1,
≥
0 , dan m = ±
ℓ
; jadi, n = 1, 2, 3, 4, 5, ……….
∞
; = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …….. n-1; m = 0, ±1
,
±2; ±3 …..; b. tambahan pula, ada hubungan yang “unik” antar nilai ketiganya yang
dimungkinkan, dan kombinasi harga-harga yang diijinkan untuk n = 1 - 4
adalah sebagai berikut: n
1 2
3 4
ℓ
1 1
2 1
2 3
m atau m
ℓ
0 0; ±1 0 0; ±1 0; ±1; ±2 0 0; ±1 0; ±1; ±2 0; ±1; ±2; ±3
Nah, hubungan numerik ketiga bilangan kuantum n, , dan m dengan koordinat
Cartes, yang dengannya notasi orbital sering dinyatakan, dapat diperiksa pada Tabel 3.4, dan rincian penyelesaian fungsi gelombang polar bersama dengan koordinat Cartes
ditunjukkan pada Tabel 3.5. Tabel 3.4 Kombinasi harga-harga
n , , dan m , yang diijinkan n
ada n macam
m atau m , ada 2 + 1 macam, dan notasi orbital dalam sumbu Cartes
Harga Notasi
±
1
±
2
±
3 1
s 1
s 2
s 2
s 1
p 2
p
z
2 p
x
, 2 p
y
3 s
3 s
1 p
3 p
z
3 p
x
, 3 p
y
2 d
3 d
z
2
3 d
xz
, 3 d
yz
3 d
xy
, 3 d
x
2
- y
2
4 s
4 s
1 p
4 p
z
4 p
x
, 4 p
y
2 d
4 d
z
2
4 d
xz
, 4 d
yz
4 d
xy
, 4 d
x
2
- y
2
3 f
4f
z
3
4 f
xz
2
, 4 f
yz
2
4f
zx
2
-y
2
, 4f
zxy
4 f
xx
2
-3y
2
, 4 f
y3x
2
-y
2
f
4f
z
3
4f
x
3
, 4f
y
3
4f
zx
2
-y
2
, 4f
zxy
4f
xz
2
-y
2
,
4f
yz
2
-x
2
1.54
Catatan
: Orbital f mempunyai 2 bentuk yakni bentuk umum - general set f dan
bentuk kubik - cubic set f; keduanya memiliki 3 label orbital yang sama sedangkan 4 yang lain berbeda. Bentuk umum lebih bermakna untuk geometri selain kubus
misalnya trigonal planar dan tetragonal, sedangkan bentuk kubus lebih bermakna untuk geometri kubus yakni tetrahedron dan oktahedron. Seperti halnya orbital
d
z
2
adalah bentuk singkat dari
d
2
z
2
- x
2
- y
2
atau d
3
z
2
- r
2
, demikian juga: f
z
3
= f
z5z
2
-3r
2
; f
x
3
= f
x5x
2
-3r
2
; f
y
3
= f
y5y
2
-3r
2
; sedangkan f
xz
2
= f
x5z
2
-3r
2
, dan 4 f
yz
2
= f
y5z
2
-3r
2
. Mengapa keempat formula orbital f yang lain hasil cubic-set berbeda dari hasil general-set? Perbedaan ini
secara matematis valid semuanya sesuai lingkungan geometrinya, sebab keempat formula orbital
f cubic-set sesungguhnya hanyalah hasil kombinasi 2 set orbital dari hasil general-set. Jadi,
f
x
3
= -¼[
6
f
xz
2
-
10
f
xx
2
-3y
2
];
f
y
3
= -¼[
6
f
yz
2
-
10
f
y3x
2
-y
2
];
f
xz
2
-y
2
=
¼[
10
f
xz
2
-
6
f
xx
2
-3y
2
];dan
f
yz
2
-x
2
= ¼[
10
f
yz
2
-
6
f
y3x
2
-y
2
]. Nah, lalu kebenaran apa yang dapat Anda petik dari Tabel 3.4 tersebut?
Ada hubungan yang pasti
antara nilai m dengan lambang-formula orbital, misalnya untuk
=1, m = 0 selalu menunjuk orbital p
z
. Banyak dijumpai buku teks, guru maupun mahasiswa menunjukkan
miskonsepsi
dengan secara sembarangan “mengurutkan” abjad
p
x
, p
y
, p
z
sesuai dengan “urutan” nilai m = -1, 0, +1 atau m = +1, 0, -1; bahkan
ada yang berpendapat bahwa
tidak mungkin
ditentukan hubungan antara nilai numerik m dengan label formula orbital p dan juga d.
3.6 Interpretasi fungsi gelombang
