116
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
C. Fungsi Invers
1. Pengertian Fungsi Invers
Pada subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari fungsi dan penggunaannya. Suatu fungsi atau pemetaan pasti melibatkan dua
himpunan. Misalkan f suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B sehingga setiap elemen a
A mempunyai peta f a = b di B. Apabila pemetaan dibalik, dapatkah ditentukan fungsi g yang memetakan
B ke A sehingga diperoleh peta?
Untuk mengetahuinya, sebelumnya simaklah contoh dalam kehidupan sehari–hari berikut ini.
Keluarga Pak Rahmat memiliki dua anak yang bernama Arie dan Nita. Bila Arie adalah anak pertama dan Nita adalah anak kedua, maka
hubungan kekerabatan antara keduanya dapat dikatakan: Arie Kakak Nita
Apabila hubungan kekerabatan di atas dibalik, apakah mempunyai makna yang sama? Tentu saja hubungan tersebut dapat dikatakan:
Nita Adik Arie Kedua hubungan kekerabatan tersebut dapat dinyatakan dalam
diagram panah, yaitu:
Hubungan kebalikan tersebut dinamakan invers. Dari hubungan yang telah dijelaskan di atas, dapat digunakan untuk menentukan invers suatu
fungsi. Perhatikan gambar berikut ini
Jika fungsi g ada, maka f dan g disebut fungsi–fungsi invers, dan g adalah invers dari f atau dikatakan bahwa f adalah invers dari g.
Arie Nita
Kakak
Adik Gambar 3.14
f
g A
B g
b = a f
a = b Gambar 3.15
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
117
Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Jika fungsi f : A
o B yang mempunyai peta f a = b, maka invers f adalah fungsi g : B
o A dengan peta g b = a. Invers suatu fungsi dinyatakan dengan ”pangkat –1”, sehingga fungsi
invers dari f ditulis: g
= f
– 1
Apakah suatu fungsi mempunyai invers? Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut ini
Contoh 3.6 1. Diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}. Fungsi f : A
o B ditentukan dengan pasangan berurutan f = {a, 1, b, 2, c, 2}
a. Tentukan invers f adalah f
– 1
yang dinyatakan dalam pasangan berurutan.
b. Tunjukkan f dan g dengan diagram panah, kemudian selidiki apakah invers f yaitu g merupakan fungsi?
Jawab: a. Invers f adalah yang dinyatakan dengan pasangan berurutan,
yaitu g = {1, a, 2, b, 2, c} b. Diagram panah f dan g adalah:
Dari diagram di atas, terlihat bahwa f : A o B adalah fungsi.
Sedangkan, invers fungsi f, yaitu g : B o A adalah bukan fungsi
karena pada himpunan B terdapat anggota yang mempunyai kawan lebih dari satu di himpunan A.
2. Diketahui himpunan C = {1, 2, 3} dan D = {6, 7, 8}. Fungsi
memetakan x di C ke x + 5 di D. a. Tuliskan fungsi f yang dinyatakan dalam pasangan berurutan.
b. Tuliskan invers fungsi f adalah g yang dinyatakan dalam pasangan berurutan.
c. Tunjukkan f dan g dengan diagram panah, kemudian selidiki
apakah invers f, yaitu g merupakan fungsi.
f : A
o B a
b c
1 2
A B
g : B
o A 1
2 a
b
B A
c Gambar 3.16
118
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Latihan 4
1 2
3 6
7 8
f : C
o D
C D
6 7
8 1
2 3
g : D
o C
D C
Gambar 3.17
Jawab: a. Fungsi f adalah f : C
o D yang dinyatakan dengan pasangan berurutan: f = {1, 6, 2, 7, 3, 8}
b. Invers fungsi g : D o C yang dinyatakan dengan pasangan
berurutan: g = {6, 1, 7, 2, 8, 3} c.
Diagram panah f dan g adalah
Dari diagram terlihat bahwa f : c o D adalah fungsi, dan invers fungsi f,
yaitu g : D o C juga merupakan fungsi.
Berdasarkan contoh–contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa: Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi.
Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers.
Fungsi f : A o B mempunyai invers g = f
–1
, yaitu g = B o A. Jika
setiap anggota B merupakan peta dari tepat satu anggota A, dan merupakan fungsi bijektif, maka berlaku:
Teorema fungsi invers Bila f : A
o B adalah fungsi bijektif maka invers fungsi f, yaitu f
–1
: B o A juga merupakan fungsi bijektif.
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Diketahui himpunan V = {x, y, z} dan W = {5, 6, 7, 8}. Fungsi ditentukan oleh f = {x, 5, y, 6, z, 7}.
a. Tuliskan invers f adalah g : W o V yang dinyatakan dalam
himpunan pasangan berurutan. b. Tunjukkan f dan g dengan diagram panah.
c. Apakah invers f, yaitu g merupakan fungsi? Jelaskan alasan
Anda
Kategori