136
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
2. Tentukan nilai dari
3
lim
x o
2
6 3
x x
x Jawab:
3
lim
x o
2
6 3
x x
x =
3
lim
x o
3 2
3 x
x x
=
3
lim
x o
x + 2 =
3 + 2 =
5 3. Jika diketahui fungsi fx =
2
1, untuk 1
1, untuk 1
x x
x x
°
® t
°¯ Tentukan:
a.
1
lim
x o
fx; d.
1
lim
x o
fx; b.
1
lim
x o
fx; e.
sketsa grafik fungsi fx c.
apakah
1
lim
x o
f x =
1
lim
x o
f x;
Jawab: a.
1
lim
x o
fx =
1
lim
x o
x
2
+ 1 =
1
2
+ 1 =
2 b.
1
lim
x o
f x =
1
lim
x o
x + 1
= 1 + 1
= 2
c.
1
lim
x o
f x =
1
lim
x o
fx =
2 d.
1
lim
x o
f x
2 =
2 Ya,
1
1
lim
x o
f x =
1
1
lim
x o
f x.
Limit Fungsi
137
e. sketsa grafik fungsi fx
B. Menentukan Limit Fungsi Aljabar
1. Limit Fungsi di Satu Titik
Sebelumnya, Anda telah mempelajari pengertian mengenai limit, ternyata nilai limit dapat diperoleh dengan beberapa cara, antara lain
substitusi, faktorisasi, dan perkalian dengan sekawan. a. Substitusi
Jika Anda perhatikan
2
lim
x o
5x – 1 = 9, ternyata nilai 9 dapat Anda peroleh dari substitusi x = 2 pada 5x – 1. Untuk lebih memahaminya,
perhatikan contoh berikut. Contoh 4.2
Tentukan
3
lim
x o
2x – 8 dan
3
lim
x o
x
2
+ 2x + 1 Jawab:
Fungsi fx = 2x – 8 dan fx = x
2
+ 2x + 1 termasuk fungsi suku banyak, sehingga mempunyai nilai di setiap titik. Nilai limitnya dapat diperoleh
dengan cara substitusi, yaitu:
Y
X
2 1
O – 1
– 2 – 3
– 4 – 5
1
Gambar 4.3
3 4
5 2
3 4
5 6
1 0 1 7
2 6
Info Matematika
Materi limit menyediakan dasar-dasar untuk kalkulus.
Kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, tetapi dasar-
dasarnya belum teratur. Sampai pada akhirnya, Augustin
Louis Cauchy bersama rekan sebayanya Gauss, Abel, dan
Bolzona mengembangkan ketelitian baku. Mereka
memberikan dasar kalkulus pada definisi yang jelas dari
konsep limit. Kita berhutang pikiran lho sama mereka Lalu
siapakah generasi sekarang yang mau mengembangkannya?
138
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
1 f3 = 2 . 3 – 8 = –2 bilangan konstan
3
lim
x o
2x – 8 = 2 . 3 – 8 = –2 2 f3 = 3
2
+ 2 . 3 + 1 = 16 bilangan konstan
3
lim
x o
x
2
+ 2x + 1 = 3
2
+ 2 . 3 + 1 = 16 b. Faktorisasi
Untuk fungsi fx =
2
2 3
3 x
x x
, nilai fx tidak dapat Anda cari dengan cara substitusi karena bila Anda substitusikan x = 3 dalam
fungsi fx akan menghasilkan pecahan berbentuk bilangan tak
tentutak terdefinisi. Agar nilai limit dari fungsi tersebut dapat Anda peroleh, maka perlu diubah dengan faktorisasi, yaitu:
3
lim
x o
2
2 3
3 x
x x
=
3
lim
x o
3 1
3 x
x x
=
3
lim
x o
x + 1 = 3 + 1 = 4 Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 4.3 Tentukan nilai dari
2
lim
x o
3
8 2
x x
Jawab: Untuk x = 2 dengan fx =
3
8 2
x x
diperoleh f2 =
3
2 8
2 2 =
. Bila Anda perhatikan uraian di atas, fungsi fx tak terdefinisi untuk x = 2
karena menghasilkan pecahan. Nilai limit fungsi tersebut dapat Anda peroleh dengan faktorisasi, yaitu:
2
lim
x o
3
8 2
x x
=
2
lim
x o
2
2 2
4 2
x x
x x
=
2
lim
x o
x
2
+ 2x + 4 = 2
2
+ 2 . 2 + 4 = 12 c.
Perkalian dengan Sekawan Selanjutnya, bagaimana cara menentukan nilai limit dari
fungsi fx = 9
3 x
x untuk x mendekati 9 agar nilai fungsinya bukan
pecahan ?
Limit Fungsi
139
Untuk menyelesaikan limit dari fungsi tersebut, maka dapat Anda lakukan cara perkalian dengan sekawan. Bentuk sekawan dari x – 3
adalah x + 3, maka:
9
lim
x o
9 3
x x
=
9
lim
x o
9 3
x x
u 3
3 x
x
=
9
lim
x o
2 2
9 3
3 x
x x
=
9
lim
x o
9 3
9 x
x x
=
9
lim
x o
3 x
= 9 + 3
= 6
Jadi, nilai dari
9
lim
x o
9 3
x x
= 6 Untuk lebih memahami cara menentukan limit di atas, perhatikan
contoh berikut ini. Contoh 4.5
Hitunglah
2
lim
x o
2 2
4 3
5 x
x Jawab:
f 2 =
2
4 2 3
4 5 =
tak terdefinisi maka:
2
lim
x o
2 2
4 3
5 x
x =
2
lim
x o
2 2
4 3
5 x
x u
2 2
3 5
3 5
x x
=
2
lim
x o
2 2
2 2
2
4 3
5 3
5 x
x x
