Pengertian Turunan Fungsi Turunan Fungsi

158 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS v = f x = 2 lim t o 2 4 2 t t = 2 lim t o 2 2 2 t t t = 2 lim t o t + 2 = 4 Jadi, laju rata–rata dari gerakan bola tersebut adalah 4 ms. Dapat disimpulkan bahwa: Laju rata–rata atau perubahan nilai fungsi f pada x = c merupakan turunan fungsi f pada x = c dapat dinyatakan sebagai f x = lim x c o f x f c x c . Untuk lebih memahami tentang pengertian turunan fungsi, perhatikan contoh–contoh berikut ini. Contoh 5.1 Jika 1 f x x , maka tentukan turunan dari fx Jawab: f x = lim h o f x h f x h = lim h o 1 1 x h x h = lim h o x x h x x h h = lim h o h xh x h = lim h o 1 x x h = lim h o 2 1 x xh = – 2 1 x Info Matematika Sir Isaac Newton 1642–1727, ahli matematika dan fisika bangsa Inggris, dan Gottfriend Wilhelm Leibniz 1646–1716, ahli matematika bangsa Jerman, dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Dewasa ini kalkulus memberikan bantuan tak ternilai dalam menyelesaikan masalah pada beberapa cabang ilmu pengetahuan. Apa sajakah itu? Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah geometri dan mekanika. Turunan Fungsi 159 Kerjakan di buku tugas Anda 1. Dengan menggunakan definisi f x = lim h o f x h f x h . Tentukan turunan pertama dari fungsi–fungsi berikut ini. a. f x= x 2 + 3x + 4 b. f x= x 3 – 2x c. f x= 2 1 4 x x d. f x = 2 4 x e. f x = 3 2 x 2. Dengan menggunakan definisi f x = lim x c o f x f c x c , tentukan turunan pertama dari fungsi–fungsi berikut ini a. f x = x 2 – x untuk x = 3 b. f x = x 3 + 2x 2 untuk x = –1 c. f x = 3 1 x untuk x = 4 d. f x = 6 5 16 x x untuk x = 4 e. f x = 2 1 2 3 x x untuk x = 3 3. Tentukanlah a. Jika f x = 2 x , maka tentukan f x + 2x f x b. Jika f x = 2 3 5 6 x x , maka tentukan f 0 + 6 f 0 c. Jika f x = 3 3 2 x x , maka tentukan 2 3 . f 1 Latihan 1 160 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS 4. Berat sebuah mangga pada saat t dalam minggu dinyatakan dengan wt = 0,4t 2 – 0,08t w dalam kilogram. Tentukan laju pertumbuhan buah tersebut dalam 10 minggu 5. Sebuah bisnis berhasil baik sehingga keuntungan totalnya setelah t tahun mencapai 1.000t 2 rupiah. Berapakah laju keuntungan sesaat keuntungan marjinal pada t = 2?

2. Notasi Turunan Fungsi

Ada beberapa notasi yang dapat digunakan untuk menuliskan lambang turunan fungsi y = fx. Notasi turunan fungsi fx yang telah kita pelajari, yaitu f x diperkenalkan oleh seorang matematikawan Perancis bernama Louis Lagrange 1936–1813. Jika y = fx maka y = f x. Notasi lain yang dapat digunakan adalah notasi turunan fungsi yang diperkenalkan seorang matematikawan Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz 1646–1716. Notasi Leibniz menyatakan turunan fungsi y terhadap variabel x, yaitu dengan dy dx atau y. Perhatikan gambar di bawah ini Lihatlah gradien garis singgung AB pada gambar 5.4. Variabel x berubah menjadi x + x sehingga variabel y berubah menjadi y + y atau variabel fx berubah menjadi fx + x. Jadi, dapat dinyatakan y = fx + x – fx. Y X B y = f x x + x, f x + f y = f x, fx A x x + x f x + x f x O x Gambar 5.4 Turunan Fungsi 161 Jika x merupakan pengganti h, maka: f x = lim h o f x h f x h = lim x o f x x f x x = lim x o f x f x = df dx y x merupakan gradien tali busur AB. Bila x mendekati nol, maka gradien tali busur mendekati gradien garis singgung di A. Dengan menggunakan notasi Leibniz dy dx , gradien garis singgung dinyatakan sebagai berikut. lim x dy y y dx x o c atau lim x df x f x x f x f x dx x o c Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh berikut ini. Contoh 5.2 Bila diketahui y = 3x 2 – 1, maka tentukan dy dx Jawab: dy dx = lim h o f x h f x h = lim h o 2 2 3 1 3 1 x h x h = lim h o 2 2 2 3 6 3 1 3 1 x xh h x h = lim h o 2 6 3 xh h h = lim h o 6x + 3h = 6x Jadi, turunan pertama y = 3x 2 – 1 adalah 6x. 162 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS Latihan 2 Kerjakan di buku tugas Anda Dengan menggunakan notasi Leibniz, tentukan turunan fungsi– fungsi berikut 1. 3 y x 2. 1 1 x y x 3. 3 5 y x x 4. 2 2z y z z 5. 2 8 1 y x

3. Teorema Turunan Fungsi

Semua fungsi y = fx dapat diturunkan fungsinya menggunakan definisi turunan yang telah Anda pelajari. Namun, bila menentukan turunan suatu fungsi yang lebih rumit, maka akan rumit dan terlalu lama dalam menyelesaikannya. Untuk mempermudah perhitungan, Anda dapat menggunakan bentuk–bentuk umum yang disajikan sebagai teorema– teorema dasar turunan fungsi. a. Teorema 1 Misalkan, f x = 20 maka turunan pertama fungsi f x = 0. Maka dapat disimpulkan bahwa: Turunan fungsi konstan Jika y = f x = k dengan k konstanta, maka f x = 0 atau dy d k dx dx . b. Teorema 2 Bila diketahui suatu fungsi f x = x maka turunan pertama fungsinya 1 dy d x dx dx atau f x = lim h o f x h f x h = lim h o x h x h = lim h o 1 = 1