118
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Latihan 4
1 2
3 6
7 8
f : C
o D
C D
6 7
8 1
2 3
g : D
o C
D C
Gambar 3.17
Jawab: a. Fungsi f adalah f : C
o D yang dinyatakan dengan pasangan berurutan: f = {1, 6, 2, 7, 3, 8}
b. Invers fungsi g : D o C yang dinyatakan dengan pasangan
berurutan: g = {6, 1, 7, 2, 8, 3} c.
Diagram panah f dan g adalah
Dari diagram terlihat bahwa f : c o D adalah fungsi, dan invers fungsi f,
yaitu g : D o C juga merupakan fungsi.
Berdasarkan contoh–contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa: Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi.
Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers.
Fungsi f : A o B mempunyai invers g = f
–1
, yaitu g = B o A. Jika
setiap anggota B merupakan peta dari tepat satu anggota A, dan merupakan fungsi bijektif, maka berlaku:
Teorema fungsi invers Bila f : A
o B adalah fungsi bijektif maka invers fungsi f, yaitu f
–1
: B o A juga merupakan fungsi bijektif.
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Diketahui himpunan V = {x, y, z} dan W = {5, 6, 7, 8}. Fungsi ditentukan oleh f = {x, 5, y, 6, z, 7}.
a. Tuliskan invers f adalah g : W o V yang dinyatakan dalam
himpunan pasangan berurutan. b. Tunjukkan f dan g dengan diagram panah.
c. Apakah invers f, yaitu g merupakan fungsi? Jelaskan alasan
Anda
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
119
k l
m n
5 6
7 8
3 4
5 p
q r
1 2
3 4
a b
c
2. Tentukan fungsi invers dari diagram panah berikut ini
a. b.
3. Tentukan fungsi invers dari fungsi–fungsi yang dinyatakan dengan
pasangan berurutan berikut ini a. f = {5, 2, 6, 1, 7, 4, 8, 3}
b. f = {3, c, 2, d, 1, e}
4. Perhatikan diagram panah berikut ini
Apakah invers dari fungsi f yang dinyatakan dengan diagram panah di
samping merupakan fungsi? Jelaskan alasannya
5. Mengapa invers suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi
invers?
2. Menentukan Fungsi Invers
Suatu fungsi f yang memetakan x ke y dinyatakan dengan f : x o y
atau ditulis y : f x. Invers fungsi f tersebut yang memetakan y ke x dinyatakan dengan f
– 1
: y o x atau ditulis x = f
–1
y. Maka dapat dinyatakan bahwa:
Invers dari fungsi y = f x adalah x = f
–1
y Bagaimanakah cara menentukan fungsi invers? Untuk mengetahuinya
coba Anda pelajari contoh berikut ini. Contoh 3.7
a. Diketahui fungsi f : R
o R ditentukan oleh f x = 2x + 5. Tentukan rumus fungsi inversnya
Jawab: f
x = y
2x + 5 = y 2x = y – 5
120
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
x = 5
2 y
f
–1
y = 5
2 y
f
–1
x =
5 2
x
Jadi, fungsi inversnya adalah f
–1
x =
5 2
x
b. Diketahui f x =
1 x
x
untuk x z 1 dan f dalam R. Tentukan rumus
fungsi inversnya dan nilai f
–1
2 Jawab:
1 f x = y
1 x
x
= y x
= y x – 1 x
= yx – y x
– yx = –y x
1 – y = –y x
= 1 y
y x
= 1
y y
f
–1
y = 1
y y
f
–1
x =
1 x
x
2 f
–1
2 =
2 2 1
=
2 1
= 2 Dari beberapa contoh di atas, dapat disimpulkan mengenai langkah–
langkah menentukan fungsi invers, yaitu: Langkah–langkah menentukan fungsi invers:
a. Misalkan y = f x, kemudian diubah menjadi bentuk x = gy b. Gantilah x sebagai f
–1
y sehingga f
–1
y = gy c.
Ubahlah huruf y dengan huruf x sehingga diperoleh fungsi invers f
–1
x
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
121 Kerjakan di buku tugas Anda
1. Jika f
–1
x merupakan fungsi invers dari suatu fungsi, maka tentukan f
–1
x dari fungsi–fungsi berikut ini a. 5x – 7
b. 2x
2
– 5 c.
1 + x d. f x =
2 5
3 4
x x
, untuk x z
4 3
e. f
x =
4 1
2 3 x
x
, untuk x z
2 3
2. Diketahui f : R
o R didefinisikan oleh f x = x
3
+ 5. Tentukan rumus fungsi invers f
–1
x dan nilai f
–1
13 3.
Bila f x =
1 4
x x
untuk x z 4 mempunyai fungsi invers, tentukan
f
–1
2 4.
Fungsi f : R o R didefinisikan oleh f x = 2
5 x
dan f
–1
x = 2. Tentukan nilai x
5. Bila diketahui fungsi invers dari f adalah f
–1
x = 1
2 3
x , maka
tentukan fungsi f x
3. Grafik Fungsi dan Fungsi Inversnya
Telah Anda ketahui bahwa fungsi f memiliki fungsi invers f
–1
hanya jika f bijektif satu–satu dan pada. Fungsi–fungsi dan fungsi inversnya
dapat disajikan dalam bentuk grafik. Grafik fungsi bijektif pada himpunan bilangan real R adalah sebuah kurva yang dibangun oleh himpunan titik–
titik {x, y = f x}. Sedangkan fungsi inversnya f
–1
x ditentukan oleh himpunan titik–titik {y = f x, x}.
Agar lebih jelas, perhatikan contoh di bawah ini. Contoh 3.8
Diketahui fungsi f : R
o R ditentukan oleh f x = 2x + 6. Tentukan: a. rumus fungsi untuk f
–1
x; b. daerah asal untuk f x;
Latihan 5
