Titik stasioner Karakteristik Grafik Fungsi

184 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS Latihan 7 Kerjakan di buku tugas Anda 1. f x = 2x 2 – 6x + 10 2. f x = 2x 3 – 5x 2 – 4x + 3 3. y = 2x + 1 4x – 3 4. y = 2 – 3x 2 5. y = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 – 6x b. Jenis stasioner Misalkan, f x = 0 untuk suatu konstanta a, maka titik stasioner terjadi ketika x = a dan y = f a, sehingga koordinat titik stasionernya a, fa. Berikut ini terdapat empat jenis titik stasioner, yaitu 1 Titik balik maksimum pada titik x = a Jika x a, maka f x 0 Jika x a, maka f x 0 2. Titik balik minimum pada titik x = a Jika x a, maka f x 0 Jika x a, maka f x 0 f x 0 f x 0 a X Y f x = 0 Gambar 5.11 f x 0 f x 0 a X Y f x = 0 Gambar 5.12 Turunan Fungsi 185 3. Titik belok stasioner positif pada titik x = a Jika x a, maka f x 0 Jika x a, maka f x 0 4. Titik belok stasioner negatif pada titik x = a Jika x a, maka f x 0 Jika x a, maka f x 0 Untuk lebih jelas, simaklah contoh berikut ini. Contoh 5.15 Diketahui suatu fungsi y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 4. a. Carilah titik–titik stasioner untuk fungsi y b. Tentukan jenis dari titik–titik stasioner yang diperoleh Jawab: a. y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 4 y = 2. 3x 3–1 + 3. 2x 2–1 – 12 = 6x 2 + 6x – 12 Syarat stasioner y = 0 6x 2 + 6x – 12 = 0 6 x 2 + x – 2 = 0 6 x – 1 x + 2 = 0 x – 1 = 0 atau x + 2 = 0 x = 1 x = –2 Untuk x = –2 o y = 2 –2 3 + 3 –2 2 – 12 –2 – 4 = –16 + 12 + 24 – 4 = 16 Untuk x = 1 o y = 2. 1 3 + 3. 1 2 – 12. 1 – 4 = 2 + 3 – 12 – 4 = –11 Jadi, titik–titik stasionernya adalah –2, 16 dan 1, –11. f x = 0 f x 0 X Y f x 0 Gambar 5.14 f x 0 f x 0 a X Y f x = 0 Gambar 5.13 186 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS –2 1 x = –3 x = 0 x = 2 b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, diperlukan informasi tanda turunan fungsi di sebelah kiri dan kanan titik stasioner. Oleh karena itu, kita perlu mengambil sampel titik uji di sebelah kiri dan kanan titik–titik stasioner. Misalnya, dipilih titik–titik x = –3, x = 0 dan x = 2 sebagai sampel titik uji. Untuk x = –3 y = 6 –3 2 + 6 –3 – 12 = 54 – 18 – 12 = 24 0 Untuk x = 0 y = 6 0 2 + 6. 0 – 12 = –12 0 Untuk x = 2 y = 6 2 2 + 6. 2 – 12 = 24 + 12 – 12 = 24 0 Hasilnya dapat dituliskan dalam tabel, yaitu: Tabel 5.1 x –3 –2 1 2 y bentuk grafik Dari tabel 5.1, terlihat bahwa 1 Titik balik maksimum adalah titik –2,16 2 Titik balik minimum adalah titik 1,–11 Kerjakan di buku tugas Anda Carilah titik–titik stasioner dan tentukan jenis stasionernya serta nilai maksimum dan minimum untuk fungsi–fungsi berikut ini 1. f x = 1 3 x 3 – x 2 – 3x + 1 Latihan 8 Turunan Fungsi 187 2. f x = x 3 + x + 1 3. f x = 2x 3 – 3x 2 + 6 4. f x = x – 2 x – 3 x – 4 + 1 5. f x = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 – 2x + 5 6. y = 5x 3 – 3x 5 7. y = x 4 – 2x 3 + 1 8. y = x 4 + 4x 3 – 20x 2 + 2 9. y = x 3 3x – 4 10. y = x 5 – 15x 3 Perhatikan hasil yang diperoleh dari contoh 5.15. 1 Dari titik balik maksimum –2, 16, nilai y = 16 merupakan nilai maksimum. 2 Dari titik balik minimum 1, –11, nilai y = –11 merupakan nilai minimum. Nilai maksimum dan nilai minimum disebut nilai ekstrim Nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu fungsi pada interval tertentu dapat ditentukan tanpa harus menggambar dulu. Bagaimanakah cara menentukannya? Pelajarilah contoh berikut ini Contoh 5.16 Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f x = x 3 – 3x pada interval –3 d x d 4 Jawab: Fungsi f x = x 3 – 3x o f x = 3x 2 – 3 Pada interval –3 d x d 4 Pojok kiri interval x = –3 maka f –3 = –3 3 – 3. –3 = –27 + 9 = –18 Pojok kanan interval x = 4 maka f 4 = 4 3 – 3.4 = 64 – 12 = 52 Syarat stasioner f x = 3x 2 – 3 = 3x 2 = 3 x 2 = 1 x = + 1 Untuk x = –1 o f –1 = 3 –1 2 – 3 –1 = 3 + 3 = 6 x = 1 o f 1 = 3. 1 2 – 3. 1 = 0 188 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS Dari nilai fx dan f x diperoleh: 1 Nilai maksimum = 52 2 Nilai minimum = –18 Jadi, diperoleh interval –18 d fx d 52 untuk –3 d x d 4. Kerjakan di buku tugas Anda Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan interval nilai f x dari fungsi–fungsi berikut 1. f x = 3 – 2x pada interval 0 d x 5 2. f x = 1 x pada interval 1 d x d 4 3. f x = 2 3 x pada interval –2 d x d 1 4. f x = x 3 + 6x 2 + 12x – 6 pada interval 0 d x d3 5. f x = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 4 pada interval x d 2 6. y = x – 2 2 x – 4 2 pada interval 1 d x d 6 7. y = 4x – x 2 pada interval –1 d x d 3 2 8. y = x – 2 x – 1 2 pada interval –1 d x d 3 9. y = 2 1 1 x pada interval 0 d x d 4 10. y = 5 pada interval 0 d x 4

4. Sketsa Grafik dengan Turunan Pertama

Setelah Anda memahami titik stasioner dan jenis stasioner suatu fungsi, selanjutnya fungsi tersebut dapat Anda sajikan dalam sketsa grafik fungsi. Cara membuat sketsa grafik dengan menggunakan turunan pertama fungsi fx dinamakan uji turunan pertama. Seperti apakah bentuk dari sketsa grafik suatu fungsi? Untuk mengetahuinya, perhatikan contoh berikut ini Contoh 5.17 Bentuk sketsa grafik fungsi y = x 2 – 2x 2 + x Latihan 9 Turunan Fungsi 189 Jawab: Untuk membuat sketsa grafik fungsi, maka diperlukan informasi beberapa titik sebagai berikut. a. Titik potong dengan sumbu x Syarat y = 0 x 3 – 2x 2 + x = 0 x x 2 – 2x + 1 = 0 x = 0 atau x 2 – 2x + 1 = 0 x – 1 x – 1 = 0 x – 1 = 0 atau x – 1 = 0 x = 1 x = 1 Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu x adalah 0,0 dan 1,0. b. Titik potong dengan sumbu y Syarat x = 0 y = 0 3 – 2. 0 2 + 0 = 0 Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah 0, 0. c. Titik stasioner y = x 3 – 2x 2 + x y = 3x 2 – 4x + 1 Syarat y = 0 3x 2 _ 4x + 1 = 0 3x – 1 x – 1 = 0 3x – 1 = 0 atau x – 1 = 0 x = 1 3 x = 1 Jika x = 1 3 , maka: y = 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ – 2 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ + 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 27 – 2 9 + 1 3 = 1 6 9 27 = 4 27 Jika x = 1, maka y = 1 3 – 2. 1 + 1 = 1 – 2 + 1 = Jadi koordinat stasionernya adalah 1 4 , 3 27 § · ¨ ¸ © ¹ dan 1,0. 190 Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS y x = 0 1 3 1 x = 1 2 x = 2 y y d. Titik bantu di kiri dan kanan titik stasioner. Jika x = 0, maka y = 3. 0 2 – 4. 0 + 1 = 1 0 fungsi naik y = 3 – 2. 0 2 + 0 = 0 Jika x = 1 2 , maka y = 3. 2 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ – 4 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ + 1 = 3 4 – 2 + 1 = – 1 4 0 fungsi turun y = 3 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ – 2 2 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ + 1 2 = 1 8 – 2 4 + 1 2 = 1 4 4 8 = 1 8 Jika x = 2, maka y = 3. 2 2 – 4. 2 + 1 = 12 – 8 + 1 = 5 0 fungsi naik y = 2 3 – 2. 2 2 + 2 = 8 – 8 + 2 = 2 e. Hasil yang diperoleh dapat dituliskan dalam tabel, berikut. Tabel 5.2 x 1 3 1 2 1 2 y 4 27 1 8 2 y bentuk grafik