Titik stasioner Karakteristik Grafik Fungsi
184
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Latihan 7
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
f x = 2x
2
– 6x + 10 2.
f x = 2x
3
– 5x
2
– 4x + 3 3.
y = 2x + 1 4x – 3
4. y
= 2 – 3x
2
5. y
=
1 3
x
3
+
1 2
x
2
– 6x
b. Jenis stasioner Misalkan, f x = 0 untuk suatu konstanta a, maka titik stasioner
terjadi ketika x = a dan y = f a, sehingga koordinat titik stasionernya a, fa.
Berikut ini terdapat empat jenis titik stasioner, yaitu 1 Titik balik maksimum pada titik x = a
Jika x a, maka f x 0 Jika x a, maka f x 0
2. Titik balik minimum pada titik x = a Jika x a, maka f x 0
Jika x a, maka f x 0
f x 0
f x 0
a X
Y
f x = 0
Gambar 5.11
f x 0
f x 0
a X
Y
f x = 0
Gambar 5.12
Turunan Fungsi
185
3. Titik belok stasioner positif pada titik x = a Jika x a, maka f x 0
Jika x a, maka f x 0
4. Titik belok stasioner negatif pada titik x = a Jika x a, maka f x 0
Jika x a, maka f x 0
Untuk lebih jelas, simaklah contoh berikut ini. Contoh 5.15
Diketahui suatu fungsi y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 4. a. Carilah titik–titik stasioner untuk fungsi y
b. Tentukan jenis dari titik–titik stasioner yang diperoleh Jawab:
a. y
= 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 4 y
= 2. 3x
3–1
+ 3. 2x
2–1
– 12 =
6x
2
+ 6x – 12 Syarat stasioner y = 0
6x
2
+ 6x – 12 = 0
6 x
2
+ x – 2 = 0
6 x – 1 x + 2 = 0 x
– 1 = 0 atau
x + 2 = 0
x = 1
x = –2
Untuk x = –2 o y
= 2 –2
3
+ 3 –2
2
– 12 –2 – 4 =
–16 + 12 + 24 – 4 =
16 Untuk x = 1
o y =
2. 1
3
+ 3. 1
2
– 12. 1 – 4 =
2 + 3 – 12 – 4 =
–11 Jadi, titik–titik stasionernya adalah –2, 16 dan 1, –11.
f x = 0
f x 0
X Y
f x 0
Gambar 5.14
f x 0
f x 0
a X
Y
f x = 0
Gambar 5.13
186
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS –2
1 x
= –3 x
= 0 x
= 2
b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, diperlukan informasi tanda turunan fungsi di sebelah kiri dan kanan titik stasioner. Oleh
karena itu, kita perlu mengambil sampel titik uji di sebelah kiri dan kanan titik–titik stasioner.
Misalnya, dipilih titik–titik x = –3, x = 0 dan x = 2 sebagai sampel titik uji.
Untuk x = –3 y
= 6 –3
2
+ 6 –3 – 12 =
54 – 18 – 12 =
24 0 Untuk x = 0
y =
6 0
2
+ 6. 0 – 12 =
–12 0 Untuk x = 2
y =
6 2
2
+ 6. 2 – 12 =
24 + 12 – 12 =
24 0 Hasilnya dapat dituliskan dalam tabel, yaitu:
Tabel 5.1
x –3
–2 1
2 y
bentuk grafik
Dari tabel 5.1, terlihat bahwa 1 Titik balik maksimum adalah titik –2,16
2 Titik balik minimum adalah titik 1,–11
Kerjakan di buku tugas Anda Carilah titik–titik stasioner dan tentukan jenis stasionernya serta nilai
maksimum dan minimum untuk fungsi–fungsi berikut ini
1. f
x =
1 3
x
3
– x
2
– 3x + 1
Latihan 8
Turunan Fungsi
187
2. f
x = x
3
+ x + 1 3.
f x = 2x
3
– 3x
2
+ 6 4.
f x = x – 2 x – 3 x – 4 + 1
5. f
x =
1 3
x
3
+
1 2
x
2
– 2x + 5 6.
y = 5x
3
– 3x
5
7. y
= x
4
– 2x
3
+ 1 8.
y = x
4
+ 4x
3
– 20x
2
+ 2 9.
y = x
3
3x – 4 10. y = x
5
– 15x
3
Perhatikan hasil yang diperoleh dari contoh 5.15. 1 Dari titik balik maksimum –2, 16, nilai y = 16 merupakan nilai
maksimum. 2 Dari titik balik minimum 1, –11, nilai y = –11 merupakan nilai
minimum. Nilai maksimum dan nilai minimum disebut nilai ekstrim
Nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu fungsi pada interval tertentu dapat ditentukan tanpa harus menggambar dulu.
Bagaimanakah cara menentukannya? Pelajarilah contoh berikut ini Contoh 5.16
Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f x = x
3
– 3x pada interval –3
d x d 4 Jawab:
Fungsi f x = x
3
– 3x o f x = 3x
2
– 3 Pada interval –3
d x d 4 Pojok kiri interval x = –3 maka f –3 = –3
3
– 3. –3 = –27 + 9 = –18 Pojok kanan interval x = 4 maka f 4 = 4
3
– 3.4 = 64 – 12 = 52 Syarat stasioner f x =
3x
2
– 3 = 3x
2
= 3
x
2
= 1
x = + 1
Untuk x = –1 o f –1 = 3 –1
2
– 3 –1 = 3 + 3 = 6 x = 1
o f 1 = 3. 1
2
– 3. 1 = 0
188
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Dari nilai fx dan f x diperoleh: 1 Nilai maksimum = 52
2 Nilai minimum = –18 Jadi, diperoleh interval –18
d fx d 52 untuk –3 d x d 4.
Kerjakan di buku tugas Anda
Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan interval nilai f x dari fungsi–fungsi berikut
1. f
x = 3 – 2x pada interval 0 d x 5
2. f
x =
1 x
pada interval 1 d x d 4
3. f
x =
2 3
x
pada interval –2 d x d 1
4. f
x = x
3
+ 6x
2
+ 12x – 6 pada interval 0 d x d3
5. f
x = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 4 pada interval x d 2
6. y
= x – 2
2
x – 4
2
pada interval 1 d x d 6
7. y
= 4x – x
2
pada interval –1 d x d
3 2
8. y
= x – 2 x – 1
2
pada interval –1 d x d 3
9. y
=
2
1 1
x
pada interval 0 d x d 4
10. y = 5 pada interval 0 d x 4