Penggunaan Limit Fungsi Matematika 2 IPS Kelas 11 Sri Lestari Diah Ayu Kurniasih 2009
150
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Tugas Kelompok Tugas Kelompok
2. Sebuah mobil melaju kencang dalam p o s i s i y a n g m e m e n u h i persamaan fx = t
2
+ 3t, dengan x t 0. Berapakah kecepatan rata-rata
mobil pada saat t = 2? Jawab:
Kecepatan mobil dapat dicari dengan menggunakan limit fungsi dari fungsi fx, yaitu
v t =
lim
h o
f t h f t
h untuk t = 2 diperoleh:
v 2 =
lim
h o
f t h f t
h =
lim
h o
2 2
2 3 2
2 3 2
h h
h =
lim
h o
2
4 4 6 3
4 6 h h
h h
= lim
h o
2
7 h
h h
= lim
h o
h + 7 = 7
Kerjakan dengan kelompok Anda Buatlah kelompok yang terdiri dari 4 orang. Timbanglah berapa berat
badan Anda masing–masing. Berat badan dalam kilogram dinyatakan dengan Wt = 0,2t
2
– 0,09t, dengan t dalam minggu. Tentukan laju pertumbuhan badan Anda setelah 2 minggu Siapakah di antara
anggota kelompok yang laju pertumbuhan badannya paling besar?
Limit Fungsi
151
Latihan 4
Rangkuman
Kerjakan di buku tugas Anda
1. Tentukan
lim
h o
3 3
f h
f h
bila fx = x
2
+ 3 2.
Tentukan lim
h o
f x h f x
h bila fx = x
2
– 2x 3.
Buktikan bahwa lim
h o
2 2
f h
f h
= 9 untuk fx = x
2
+ 5x + 1 4.
Carilah kemiringan gradien garis singgung kurva y = x
3
– 2x di x
= –3 5.
Pendapatan dalam rupiah dari produksi x kg suatu barang dinyatakan oleh Rx = 0,5x – 0,002x
2
. Berapa laju perubahan sesaat dari pendapatan tersebut untuk x = 100?
1. Definisi limit secara intuisi lim
x c
o
f x = L berarti jika x mendekati c dari kiri dan kanan sehingga
nilai fx mendekati L dari kiri dan kanan, maka nilai fx mendekati L.
lim
x c
o
f x = lim
x c
o
fx = lim
x c
o
f x = L ada
2. Nilai limit fungsi di satu titik dapat diperoleh dengan cara: a. substitusi;
b. faktorisasi; c.
perkalian dengan sekawan. 3. Teorema limit
a. lim
x c
o
a = a b.
lim
x c
o
x = c
152
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
c. lim
x c
o
fx = fc d.
lim
x c
o
a f x = a
lim
x c
o
f x
e. lim
x c
o
fx + gx = lim
x c
o
fx + lim
x c
o
gx f.
lim
x c
o
fx – gx = lim
x c
o
f x –
lim
x c
o
g x
g. lim
x c
o
fx . gx = lim
x c
o
fx . lim
x c
o
gx h.
lim
x c
o
f x g x =
lim lim
x c
x c
f x g x
o o
, dengan lim
x c
o
gx ¹ 0 i.
lim
x c
o n
f x =
lim
n x
c
f x
o
j. lim
x c
o n
f x =
lim
n x
c
f x
o
, dengan lim
x c
o
f x 0 bila n genap
4. Limit fungsi di tak berhingga a.
lim
x of
1 x
= 0 b.
lim
x of
n
k x
= 0 untuk setiap n 1 dan k Real
c. lim
x of
kx
n
= f untuk setiap n 1 dan k Real
5. Gradien kemiringan kurva a. untuk x = c
m =
lim
h o
f c h f x
h b. untuk semua x
m = f x =
lim
h o
f x h f x
h
Limit Fungsi
153 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar
1. Jika diketahui fx =
2 2
, , 0
1 1
, 1
x x
x x
x x
d
° ®
° t
¯ maka tentukan:
a. lim
x o
fx b.
1
1
lim
x o
f x
c.
1
lim
x o
f x
2. Dengan menggunakan substitusi, tentukan nilai dari
3
lim
x o
2
4 4
3 x
x x
3. Hitunglah nilai
2
lim
x o
2 2
5 6
2 x
x x
x dengan cara faktorisasi
4. Tentukan
lim
x o
3 4
4 2 x
x x
menggunakan perkalian dengan sekawan
Dengan menggunakan teorema limit, tentukan nilai–nilai limit fungsi nomor 5–8 berikut ini
5.
1
lim
x o
2x
3
– 5x 6.
2
lim
x o
x
2
+ 1 3x – 1 7.
2
lim
x o
4 3
3 8
24 x
x 8.
2
lim
x o
3 2
3 7
x x
9. Buktikan bahwa
1
lim
x o
3 2
2
2 3
2 3
1 x
x x
x = 5
10. Tentukan nilai lim
x of
3 2
3
2 3
1 5
4 7
x x
x x
Uji Kompetensi
154
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Pengayaan
11. Tentukan nilai lim
x of
2
5 2
x x
x
12. Tentukan nilai lim
x of
2 3
2
1 8 4
x x
13. Tentukan lim
h o
4 4
f h
f h
bila diketahui fx =
3 1
x
14. Carilah kemiringan gradien garis singgung kurva y = x
2
– 3x + 2 di titik-titik dengan x = –2 dan x = 2
15. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat yang dinyatakan S = 5
1 t
, dengan t dalam sekon. Hitunglah kecepatan partikel pada akhir 5 sekon
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar
1. Tentukan nilai
lim
y of
3 3
2 4
4 3
y y
y y
2. Tentukan nilai
1
lim
x o
2 3
3 2
2 1
1 x
x x
3. Tentukan nilai
1
lim
x o
2
1
n
x x
x 4.
Jika
4
lim
x o
4 ax b
x x
=
3 4
maka berapakah a + b? 5.
Diketahui y = x dan titik-titik M, N, O, dan P berkoordinat 1,0, 0,1, 0,0 dan x,y. Hitunglah:
a. lim
x o
keliling keliling
NOP MOP
b. lim
x o
luas luas
NOP MOP
Turunan Fungsi
155
Bab 5
Turunan Fungsi
Peta Konsep
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
G Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar
G Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan
memecahkan masalah G
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar
G Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim
fungsi aljabar dan penafsirannya
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Turunan Fungsi Turunan Fungsi
Penggunaan Turunan Fungsi Karakteristik Grafik
Fungsi Pengertian Turunan Fungsi
Aturan Rantai Teorema Turunan Fungsi
Notasi Turunan Fungsi
Persamaan Garis Singgung
Titik Stasioner Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Sketsa Grafik dengan Turunan Pertama
156
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Sumber: images.google.co.id
Gambar 5.1
Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai bidang. Misalnya dalam bidang ekonomi turunan fungsi digunakan untuk
menghitung keuntungan marginal. Dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme. Dalam bidang fisika, turunan fungsi digunakan
untuk menghitung laju bola jatuh dari ketinggian. Bagaimanakah penggunaan konsep turunan fungsi dalam bidang–bidang tersebut?
Apakah kelajuan kereta api juga dapat dihitung menggunakan turunan fungsi? Anda akan mengetahuinya setelah mempelajari materi dalam bab ini.