70
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
4. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut.
a. 2
n n
= 210 d.
1 1
n n
= 30
c.
1 n
n
= 2 5.
Buktikan bahwa : a.
1 3
+
1 2
=
4 3
b.
1 2
+
1 3
–
1 4
=
15 41
c. n
– n – 1 = n – 1 n – 1, untuk n 1
B. Permutasi
1. Permutasi dari Unsur–Unsur yang Berbeda
Pada subbab terdahulu, Anda telah mempelajari aturan pengisian tempat atau aturan perkalian. Untuk mengingat kembali, simaklah
permasalahan berikut ini. Misalkan dari tiga huruf a, b, dan c akan disusun suatu kata yang
terdiri atas 3 angka dengan kata–kata itu tidak mempunyai huruf yang sama. Susunan yang dibentuk adalah :
abc acb
bac bca
cab cba
Banyak cara untuk membuat susunan diatas adalah 3 u 2 u 1 = 6 cara.
Susunan yang diperoleh diatas disebut permutasi 3 unsur yag diambil dari 3 unsur yang tersedia.
Apabila tiga huruf diatas akan disusun kata yang terdiri dari dua huruf dengan kata–kata tersebut tidak mempunyai huruf yang sama, maka
susunan yang terbentuk adalah: ab
ac ba
bc ca
cb banyak cara untuk membuat susunan diatas adalah 3
u 2 = 6 cara. Susunan yang diperoleh diatas disebut permutasi 2 unsur yang diambil
dari 3 unsur yang tersedia. Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan bahwa:
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan r n.
Peluang
71
Banyak permutasi dilambangkan dengan notasi
n
P
r
= P
r n
Dalam beberapa buku, permutasi juga dapat ditulis
n
P
r
atau Pn,r Apabila r = n maka notasi permutasi menjadi
n
P
n
= P
n n
Agar lebih jelas untuk memahaminya, pelajarilah contoh berikut ini : Contoh 2.4
Berapakah banyak permutasi dari 4 huruf yaitu R, X, Y, Z? Jawab:
Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan yang mungkin : 4
u 3 u 2 u 1 = 4 = 24 Berdasarkan contoh diatas, terlihat bahwa banyak permutasi 4 unsur
yang diambil dari 4 unsur yang tersedia adalah : P
4 4
= 4 u 3 u 2 u 1 = 4 u 4 – 1 u 4 – 2 u 4 – 3 = 4
Secara umum dapat disimpulkan bahwa: Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan:
P
n n
= n u n – 1 u n – 2 u... u 3 u 2 u 1 = n
Perhatikan contoh berikut ini. Contoh 2.5
Berapakah banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf–huruf W
, X, Y, Z? Jawab:
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin adalah 5
u 4 = 20. Berdasarkan contoh di atas, terlihat bahwa banyak permutasi 2 unsur
yang diambil dari 4 unsur yang tersedia adalah : P
2 4
= 5 u 4 =
5 4 3 2 1 3 2 1
u u u u u u
=
5 3
=
5 5 2
Secara umum dapat disimpulkan bahwa: Banyak permutasi r yang diambil dari n unsur yang berbeda r
d n ditentukan dengan:
P
r n
= n u n – 1 un – 2 u ... un – r + 1 =
n n r
72
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Latihan 3
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Hitunglah tiap permutasi berikut ini. a. P
6 6
d.
16
P
10
b. P
7 10
e. P
8,4 c.
9
P
3
2. Tuliskan notasi dari permutasi berikut ini
a. Banyak permutasi 4 unsur yang diambil dari 9 unsur yang tersedia.
b. Banyak permutasi 8 unsur yang diambil dari 8 unsur yang tersedia.
c. Banyak permutasi 10 unsur yang diambil dari 15 unsur yang
tersedia. 3.
Berapa banyak bilangan yang terdiri atas 5 angka yang disusun dari angka–angka 5,6,7,8, dan 9?
4. Tentukan banyaknya kemungkinan dalam pemilihan Presiden dan
Wakil Presiden jika ada tujuh orang calon? 5.
Carilah nilai n jika diketahui P
3 n + 1
= P
4 n
2. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
