172
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
3. Tentukan turunan fungsi y =
6
1 3
4 x
x §
· ¨
¸ ©
¹ Jawab:
Fungsi y = 1
3 4
x x
Dimisalkan: u
= 1
3 4
x x
du dx
= u
=
2
13 4
13 3
4 x
x x
=
2
3 4 3
3 3
4 x
x x
= –
2
7 3
4 x
y =
u
6
dy du
= 6u
6–1
= 6u
5
Sehingga turunan fungsinya adalah: y
= dy
dx =
dy du
.
du dx
= 6u
5
. u =
6
5
1 3
4 x
x §
· ¨
¸ ©
¹ .
2
7 3
4 x
§ ·
¨ ¸
© ¹
y =
–
2
42 3
4 x
5
1 3
4 x
x §
· ¨
¸ ©
¹ 4. Tentukan turunan fungsi dari y =
7 2
3
3 5
11 x
x ª
º ¬
¼ Jawab:
Fungsi y =
7 2
3
3 5
11 x
x ª
º ¬
¼
Turunan Fungsi
173
Dimisalkan u = 3x
2
+ 5 x
3
– 11
du dx
= u
=
2 1 3
2 3 1
3.2 11 3
53 x
x x
x =
3 2
2
6 11 3 3
5 x x
x x
=
4 4
2
6 66
9 15
x x
x x
=
4 2
15 15
66 x
x x
y = u
7
dy du
= 7u
7–1
= 74
6
Turunan fungsinya adalah: dy
dx =
dy du
.
du dx
= 7u
6
. u =
7
6 2
3
3 5
11 x
x ª
º ¬
¼
4 2
15 15
66 x
x x
y =
4 2
105 105
462 x
x x
6 2
3
3 5
11 x
x ª
º ¬
¼
Kerjakan di buku tugas Anda
Dengan menggunakan aturan rantai, tentukan turunan pertama dari fungsi–fungsi berikut
1. f
x = 4x
3
+ 7x
23
2. f
x = 3x
4
+ x – 8
–3
3. f
x =
8 4
1 3
8 x
x 4.
f x =
4
5 6
13 x
x ª
º ¬
¼
5. f
x =
2 3
5 1
x 6.
y =
10 2
2 12
11 9
x x
x
7. y
=
7 3
3 4
11 x
x
Latihan 4
174
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
8. y
=
2
1 4
x x
9. y
=
3 2
2
3 2
2 5
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
10. y =
10
4 3
5 x
11. f x =
3 3
5
3 x
x §
· ¨
¸ ©
¹ 12. f x =
2
2 1
1 x
x 13. f x = x
2
1 x
14. y = x
3 2
1 x
15. y = 4
1 x
x
B. Karakteristik Grafik Fungsi
Setelah Anda mempelajari teorema–teorema dan aturan rantai untuk mencari turunan suatu fungsi, sekarang Anda akan mempelajari penerapannya.
Turunan dapat digunakan antara lain untuk menentukan persamaan garis singgung, menentukan sifat fungsi, mencari nilai maksimum dan minimum,
perhitungan pada masalah fisika, ekonomi, dan sebagainya.
1. Persamaan Garis Singgung
Pada subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari cara menentukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva dengan menggunakan
limit fungsi. Cobalah Anda ingat kembali Lalu, bagaimanakah cara menentukan gradien garis singgung kurva dengan menggunakan turunan?
Untuk mengetahuinya, perhatikan gambar berikut ini
Turunan Fungsi
175
Y
X y = f
x B
x + h, f x + h g
A x
1
, f x
x x+h
h l
Gambar 5.5
Garis l memotong kurva y = fx di titik Ax, fx dan B x + h, f x + h. Jika titik B bergerak mendekati A sepanjang kurva, maka nilai h akan
mendekati nol dan garis l akan menjadi garis g, yaitu garis singgung kurva di titik A. Gradien garis l adalah
f x h f x
h , dan gradien garis g adalah
lim
h o
f x h f x
h .
Dari subbab sebelumnya, Anda telah mengetahui bahwa lim
h o
f x h f x
h merupakan turunan dari fungsi f, yaitu f x. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa: Gradien garis singgung kurva y = fx di titik x, fx adalah
f x =
lim
h o
f x h f x
h Selanjutnya, untuk mencari persamaan garis singgung perlu Anda
ingat kembali persamaan garis melalui satu titik x
1
, y
1
dengan gradien m, yaitu dinyatakan sebagai y – y
1
= m x – x
1
. Secara analog diperoleh: Persamaan garis singgung kurva y = fx di titik a, fa adalah
atau y – f a = f a atau y = y a + f a x – a. Untuk lebih mengetahui penggunaan persamaan di atas, perhatikan
contoh berikut ini.
176
Matematika SMAMA Kelas XI Program IPS
Contoh 5.11 1.
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
2
– 2x + 1 di titik 0,1
Jawab: Gradien garis singgung adalah
m = y =
d dx
x
2
– 2x + 1 = 2x – 2 Jika a = 0, maka m = 2 . 0 – 2 = –2.
Persamaan garis singgung melalui 0,1 pada kurva adalah:
y – f a = m x – a
y – 1
= –2 x – 0 y
– 1 = –2x
2x + y – 1 = 0 2.
Tentukan persamaan garis singgung kurva f x = x
3
+ 3x
2
– 2x – 5 di titik yang absisnya –2
Jawab: a
= –2 maka fa =
–2
3
+ 3 –2
2
– 2–2 – 5 =
–8 + 12 + 4 – 5 =
3 Diperoleh titik singgung a, fa adalah –2,3
Gradien singgungnya adalah m
= f x =
d dx
x
3
+ 3x
2
– 2x – 5 = 3x
2
+ 6x – 2 Untuk a =
–2 maka m = 3–2
2
+ 6–2
–2
– 2 =
12 – 12 – 2 =
–2 Maka persamaan garis singgung melalui –2,3 pada kurva adalah
y – f a =
m x – a
y – 3 =
–2 x – –2 y
– 3 = –2 x + 2
y – 3 =
–2x – 4 2x + y – 3 + 4 = 0
2x + y + 1 = 0 3.
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
3
– 7 yang tegak lurus garis y =
1 3
x + 2
Y
X 0,1
y = x
2
– 2x + 1
Gambar 5.6
