128
dua, terbentuk 2, 4, 8, 16 dan dikenal suatu barisan yang memuat unsur 2
n
dan ditambah suatu konstanta.
Maka barisan yang memiliki sifat seperti ini, secara umum dirumuskan dengan , untuk bilangan asli.
Untuk menentukan k, disubstitusikan n=1, diperoleh .
Jadi, rumus suku ke- adalah
. Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut Jawab
5 10
17 28
47 82
149 5 7 11 19
35 67 2
4 8
16 32 2 4 8
16 2
4 8
Sebagaimana contoh 1, diperoleh keteraturan dan memuat unsur sehingga rumus
umumnya adalah . Untuk menentukan nilai , substitusikan untuk
, didapat .
Jadi, rumus umum suku ke- ,
.
c. Barisan Fibonacci
Bilangan Fibonacci ditemukan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Italia yang bernama Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano 1175-1250. Leonardo
memiliki peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa.Ayahnya bernama William dan dikenal sebagai Bonacci.
Leonardo disebut sebagai Fibonacci dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci sehingga beliau mendapat julukan Fibonacci.
Pada 1202, diusia 27 tahun, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam bukunya yang berjudul Liber Abacibuku perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan
sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang,
129
Modul PKB Guru Matematika SMA
konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan
menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa. Meskipun penggunaannya baru tersebar luas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga
abad berikutnya. Pada salahsatu bab, dalam Buku Liber Abaci, beliau menulis suatu permasalahan
yang mampu mengusik akal sehat matematikawan, yaitu tentang masalah kelinci beranak-pinak. Pertanyaan sederhana tetapi menarik dan diperlukan kejelian dalam
menjawabnya. Inilah masalah yang terdapat dalam buku tersebut : Berapa banyak pasangan kelinci yang beranak pinak selama satu tahun jika diawali
dari sepasang kelinci jantan dan betina dan kelinci tersebut tumbuh jadi dewasa bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan, sehingga setiap bulan kedua,
masing- masing kelinci betina selalu melahirkan sepasang kelinci baru ?”
Dari gambaran diatas, dapat diketahui bahwa :
Jumlah kelinci pada bulan ke-1 : 1 pasang namakan A,
Jumlah kelinci pada bulan ke-2 : 1 pasang A,
Jumlah kelinci pada bulan ke-3 : 2 pasang A dan B; B adalah anak dari A,
Jumlah kelinci pada bulan ke-4 : 3 pasang A, B dan C; C adalah anak dari A,
Jumlah kelinci pada bulan ke-5 : 5 pasang A, B, C, D dan E; D adalah anak dari A, sedangkan E adalah anak dari B,
... . Sehingga Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan
bilangan
130
Atau disajikan dalam bentuk notasi barisan bilangan, dengan Dengan demikian, jika ingin mencari banyak pasangan kelinci yang beranak-pinak
dalam setahun maka permasalahan yang dimaksud adalah mencari suku ke-12, yaitu
pada barisan bilangan tersebut.
Contoh : Diberikan suatu barisan Fibonacci
. Jika setiap bilangan dalam barisan tersebut dikuadratkan maka buktikan bahwa
∑ .
Bukti : Misalkan barisan Fibonacci disajikan dalam table sebagai berikut :
1 1
2 3
5 8
13 21
… 1
1 4
9 25
64 169
441
Perhatikan tabel hasil pengkuadratan bilangan fibonacci diatas, didapat suatu pola, sebagai berikut :
1 =
1 1
= 1
+ 1
= 1
2 =
1 +
1 +
4 2
1 +
1 +
4 +
9 =
15 =
… Dengan demikian, dapat ditulis
∑ .
Definisi
{ Barisan bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara
rekursif sebagai berikut :
dengan n bilangan asli.
