42
3. FPB dan KPK
Pembagi setiap bilangan dari suatu kelompok bilangan bulat dinamakan sebagai pembagi persekutuan dari bilangan-bilangan bulat tersebut.
Dari pembagi persekutuan-pembagi persekutuan pada suatu kelompok bilangan bulat, pembagi persekutuan yang paling besar disebut Pembagi Persekutuan
Terbesaratau Faktor Persekutuan Terbesar dan disingkat FPB. Notasi untuk FPB dari bilangan bulat
dan adalah . Jika satu-satunya pembagi persekutuan dari dua bilangan bulat adalah
, maka kita katakan bahwa dua bilangan bulat tersebut saling prima relatif. Dengan kata lain,
dua bilangan bulat m dan n saling prima relatif jika . Pasangan
bilangan bulat yang saling prima relatif sering disebut koprima. Apa prediksi Anda tentang manfaat dan peran bilangan saling prima relative
terhadap pengembangan teori bilangan . Kelipatan setiap bilangan dari suatu kelompok bilangan bulat dinamakan
sebagaikelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan bulat tersebut. Dari kelipatan persekutuan-kelipatan persekutuan pada suatu kelompok bilangan
bulat, kelipatan persekutuan yang paling kecil disebut Kelipatan Persekutuan Terkecildan disingkat KPK.
Notasi untuk KPK dari bilangan bulat dan adalah .
Algoritma Pembagian menyebutkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat dan
sebarang bilangan asli , terdapat tepat satu pasang bilangan bulat dan
sedemikian hingga
dengan .
Pada Algoritma Pembagian, disebut yang dibagi, disebut pembagi, disebut hasil
bagi dan disebut sisa bagi.
Pernyataan-pernyataan berikut mempunyai arti yang sama: a.
Jumlah dan selisih dari sebarang dua kelipatan juga merupakan kelipatan .
43
Modul PKB Guru Matematika SMA
b. Jika | dan | maka | dan | .
c. Jika adalah pembagi persekutuan dari dua bilangan bulat, maka sekaligus
juga pembagi dari jumlah dan selisih dari dua bilangan bulat tersebut. Untuk sebarang bilangan asli
dan , dengan , maka
Algoritma Euclid mengaplikasikan fakta tersebut berulang kali, menghasilkan FPB dari satu pasang bilangan asli. Algoritma Euclid yang Diperluas mempercepat proses
pencarian FPB dengan menggunakan sisa bagi ketika dibagi .
Contoh FPB25,15=FPB25-15,15=FPB10,15=FPB15-10,10=F5,10=FPB5,5=5.
4. Sifat Keterbagian Bilangan Bulat
Apabila kita membagi dengan , maka tidak akan menghasilkan sisa bagi karena
. Kita katakan bahwa habis dibagi atau adalah faktor atau pembagi dari
. Karena juga habis dibagi , kita dapat mengatakan bahwa juga merupakan faktor dari
. Secara umum, jika habis dibagi , maka adalah faktor dari
, atau dengan kata lain, faktor-faktor dari suatu bilangan membagi habis bilangan tersebut tanpa bersisa.
Karena habis dibagi , yaitu , maka dikatakan bahwa merupakan
kelipatan . Secara umum, jika habis dibagi , maka adalah kelipatan dari .
Beberapa sifat keterbagian suatu bilangan: a.
Suatu bilangan asli habis dibagi jika angka satuan dari bilangan tersebut adalah
. b.
Suatu bilangan asli habis dibagi jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut habis dibagi
. c.
Suatu bilangan asli habis dibagi jika dua angka terakhirnya adalah atau habis dibagi
. d.
Suatu bilangan asli habis dibagi jika angka terakhirnya adalah atau .
44
e. Suatu bilangan asli habis dibagi jika bilangan tersebut habis dibagi dan .
f. Suatu bilangan asli habis dibagi jika tiga angka terakhirnya habis dibagi .
g. Suatu bilangan asli habis dibagi jika jumlah angka-angka pada bilangan
tersebut habis dibagi .
h. Suatu bilangan asli habis dibagi jika angka terakhirnya adalah .
i. Suatu bilangan asli habis dibagi jika selisih jumlah angka pada posisi
genap dengan jumlah angka pada posisi ganjil adalah atau kelipatan .
Contoh : Jika suatu bilangan terdiri atas 3 angka maka jumlah angka-angkanya habis dibagi3.
Bukti : Akan ditunjukkan pembuktian sifat keterbagian oleh
untuk kasus khusus bilangan tiga angka ini sebagai jembatan sebelum pembuktian yang lebih umum untuk
bilangan angka.
Misalkan suatu bilangan tiga angka dengan angka-angka dan sehingga dapat
dinyatakan dalam bentuk . Karena
, maka berakibat habis dibagi jika dan hanya jika habis dibagi . Terbukti bahwa suatu bilangan tiga angka habis dibagi
jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut habis dibagi .
Berikutnya akan dibuktikan hal yang lebih umum sifat keterbagian oleh untuk
bilangan angka.
Suatu bilangan angka dengan angka-angka
dapat dinyatakan dalam bentuk
. Karena bentuk habis dibagi
untuk setiap nilai Perhatikan bentuk dan seterusnya, kita dapat menuliskan dalam bentuk
. Sehingga habis dibagi jika
dan hanya jika bentuk habis dibagi
. Dengan demikian terbukti bahwa suatu bilangan habis dibagi
jika jumlah angka- angka pada bilangan tersebut habis dibagi
.