Contoh Pembuktian Terkait Sistem Bilangan

42

3. FPB dan KPK

Pembagi setiap bilangan dari suatu kelompok bilangan bulat dinamakan sebagai pembagi persekutuan dari bilangan-bilangan bulat tersebut. Dari pembagi persekutuan-pembagi persekutuan pada suatu kelompok bilangan bulat, pembagi persekutuan yang paling besar disebut Pembagi Persekutuan Terbesaratau Faktor Persekutuan Terbesar dan disingkat FPB. Notasi untuk FPB dari bilangan bulat dan adalah . Jika satu-satunya pembagi persekutuan dari dua bilangan bulat adalah , maka kita katakan bahwa dua bilangan bulat tersebut saling prima relatif. Dengan kata lain, dua bilangan bulat m dan n saling prima relatif jika . Pasangan bilangan bulat yang saling prima relatif sering disebut koprima. Apa prediksi Anda tentang manfaat dan peran bilangan saling prima relative terhadap pengembangan teori bilangan . Kelipatan setiap bilangan dari suatu kelompok bilangan bulat dinamakan sebagaikelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan bulat tersebut. Dari kelipatan persekutuan-kelipatan persekutuan pada suatu kelompok bilangan bulat, kelipatan persekutuan yang paling kecil disebut Kelipatan Persekutuan Terkecildan disingkat KPK. Notasi untuk KPK dari bilangan bulat dan adalah . Algoritma Pembagian menyebutkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat dan sebarang bilangan asli , terdapat tepat satu pasang bilangan bulat dan sedemikian hingga dengan . Pada Algoritma Pembagian, disebut yang dibagi, disebut pembagi, disebut hasil bagi dan disebut sisa bagi. Pernyataan-pernyataan berikut mempunyai arti yang sama: a. Jumlah dan selisih dari sebarang dua kelipatan juga merupakan kelipatan . 43 Modul PKB Guru Matematika SMA b. Jika | dan | maka | dan | . c. Jika adalah pembagi persekutuan dari dua bilangan bulat, maka sekaligus juga pembagi dari jumlah dan selisih dari dua bilangan bulat tersebut. Untuk sebarang bilangan asli dan , dengan , maka Algoritma Euclid mengaplikasikan fakta tersebut berulang kali, menghasilkan FPB dari satu pasang bilangan asli. Algoritma Euclid yang Diperluas mempercepat proses pencarian FPB dengan menggunakan sisa bagi ketika dibagi . Contoh FPB25,15=FPB25-15,15=FPB10,15=FPB15-10,10=F5,10=FPB5,5=5.

4. Sifat Keterbagian Bilangan Bulat

Apabila kita membagi dengan , maka tidak akan menghasilkan sisa bagi karena . Kita katakan bahwa habis dibagi atau adalah faktor atau pembagi dari . Karena juga habis dibagi , kita dapat mengatakan bahwa juga merupakan faktor dari . Secara umum, jika habis dibagi , maka adalah faktor dari , atau dengan kata lain, faktor-faktor dari suatu bilangan membagi habis bilangan tersebut tanpa bersisa. Karena habis dibagi , yaitu , maka dikatakan bahwa merupakan kelipatan . Secara umum, jika habis dibagi , maka adalah kelipatan dari . Beberapa sifat keterbagian suatu bilangan: a. Suatu bilangan asli habis dibagi jika angka satuan dari bilangan tersebut adalah . b. Suatu bilangan asli habis dibagi jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut habis dibagi . c. Suatu bilangan asli habis dibagi jika dua angka terakhirnya adalah atau habis dibagi . d. Suatu bilangan asli habis dibagi jika angka terakhirnya adalah atau . 44 e. Suatu bilangan asli habis dibagi jika bilangan tersebut habis dibagi dan . f. Suatu bilangan asli habis dibagi jika tiga angka terakhirnya habis dibagi . g. Suatu bilangan asli habis dibagi jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut habis dibagi . h. Suatu bilangan asli habis dibagi jika angka terakhirnya adalah . i. Suatu bilangan asli habis dibagi jika selisih jumlah angka pada posisi genap dengan jumlah angka pada posisi ganjil adalah atau kelipatan . Contoh : Jika suatu bilangan terdiri atas 3 angka maka jumlah angka-angkanya habis dibagi3. Bukti : Akan ditunjukkan pembuktian sifat keterbagian oleh untuk kasus khusus bilangan tiga angka ini sebagai jembatan sebelum pembuktian yang lebih umum untuk bilangan angka. Misalkan suatu bilangan tiga angka dengan angka-angka dan sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk . Karena , maka berakibat habis dibagi jika dan hanya jika habis dibagi . Terbukti bahwa suatu bilangan tiga angka habis dibagi jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut habis dibagi . Berikutnya akan dibuktikan hal yang lebih umum sifat keterbagian oleh untuk bilangan angka. Suatu bilangan angka dengan angka-angka dapat dinyatakan dalam bentuk . Karena bentuk habis dibagi untuk setiap nilai Perhatikan bentuk dan seterusnya, kita dapat menuliskan dalam bentuk . Sehingga habis dibagi jika dan hanya jika bentuk habis dibagi . Dengan demikian terbukti bahwa suatu bilangan habis dibagi jika jumlah angka- angka pada bilangan tersebut habis dibagi .