123
Modul PKB Guru Matematika SMA
barisan ini, setelah proses pengurangan yang pertama, belum menghasilkan konstanta yang tetap, tetapi setelah pengurangan kedua, atau ketiga, dan seterusnya
baru muncul konstanta yang tetap. Sebagai contoh, barisan
Bisa dilihat selisih dua suku yang berurutan masing-masing adalah
dan bukan konstanta tetap tetapi sudah membentuk pola bilangan. Kalau dilanjutkan , didapat selisih setiap dua unsur
berurutan adalah tetap, yaitu 2. Permasalahan yang muncul, sampai berapa tingkat, proses yang menghasilkan selisih yang tetap.
a. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika
Salah ciri khusus barisan aritmetika terletak pada selisih dua suku yang berurutan. Pada barisan aritmetika, hasil pengurangan dua suku yang berurutan pada tahap
pertama sudah diperoleh konstanta tetap. Pada barisan berikut, pengurangan dua suku yang berurutan belum tetap. Sifat ini
digunakan untuk membentuk barisan baru. Caranya adalah menentukan selisih dari setiap dua suku yang berturutan, kemudian hasilnya dibentuk barisan. Apabila pada
pengurangan pertama belum terbentuk keteraturan pola maka dilakukan proses yang sama pada barisan yang didapat. Langkah ini dilanjutkan sampai diperoleh
selisih dua suku yang berturutan adalah tetap. Barisan baru ini bergantung pada berapa tingkat tahap, derajat proses
pengurangannya yang menghasil selisih tetap sehingga namanya dikaitkan dengan tahap derajatnya.
Definisi
Suatu barisan
dinamakan Barisan berderajat satu jika selisih tetap yang diperoleh dalam satu tingkat
pengurangan barisan aritmetika. Suatu barisan
dinamakan Barisan berderajat dua jika selisih tetap yang diperoleh dalam dua tingkat
pengurangan. Suatu barisan
dinamakan Barisan berderajat tiga jika selisih tetap yang diperoleh dalam tiga tingkat
pengurangan.
124
Bentuk umum dari barisan-barisan ini merupakan fungsi dalam variabel n, dengan bilangan asli dan a, b, c, d bilangan real, yaitu
1 fn = a n + b,
barisan berderajat pertama, aritmetika, 2
fn = a n
2
+ b n + c, barisan berderajat kedua,
3 fn = a n
3
+ b n
2
+ c n + d, barisan berderajat ketiga,
dan seterusnya. Untuk lebih memantapkan tentang barisan berderajat ini, disajikan beberapa
contoh. 1.
Barisan Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan aritmetika, sehingga jika
dibentuk barisan selisihnya diperoleh selisihnya tetap. 2
5 8
11 3
3 3
Selisih tetap Selisih tetap yaitu 3 diperoleh pada pengurangan pertama sehingga barisan
disebut barisan berderajat satu. Dengan demikian, barisan aritmetika juga bisa disebut barisan berderajat satu.
2. Barisan
Pada proses pengurangan pertama, terlihat bahwa barisan selisihnya tidak tetap sehingga barisan ini bukan barisan aritmetika. Proses pengurangan
dilanjutkan ke tingkat dua dan diperoleh selisihnya tetap. 5
8 13
20 29
… 3
5 7
9 2
2 2
Selisih tetap=2 Selisih tetap yaitu 2 diperoleh pada pengurangan kedua sehingga barisan
disebut barisan berderajat dua 3.
Barisan Barisan ini bukan merupakan barisan aritmetika, hal tersebut dapat
dibuktikan pada tingkat pengurang pertama belum diperoleh selisih tetap. Apakah barisan berderajat dua.
125
Modul PKB Guru Matematika SMA
Untuk membuktikan hal itu, proses pengurangan dilanjutkan sehingga didapat selisish yang tetap.
2 5
18 45
90 …
3 13
27 45
10 14
18 6
6 Selisih tetap=6
Selisih tetap yaitu 6 diperoleh pada pengurangan ketiga sehingga barisan 2, , , , … disebut barisan berderajat tiga
Target utama dalam pembahasan barisan adalah menentukan rumus umum suku ke-n. yaitu u
n
dari barisan berderajat 2 atau lebih.
1 Barisan kuadrat berderajat dua
Bentuk umum ,
Proses : Untuk menentukan suku ke-
, yaitu substitusikan sehingga didapat barisan sebagai berikut
u
1
=a+b+c, u
2
=4a +2b +c, u
3
=9a + 3b+c, u
4
=16a+4b+c. i
a+b+c 4a+2b+c
9a+3b+c 16a+4b+
…
ii 3a+b
5a+b 7a+b
Untuk menentukan rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan dilakukan proses pengurangan berikut
i 5
8 13
20 29
…
ii 3
5 7
iii 2
2
