30
Pada bilangan-bilangan tersebut tidak terdapat pola perulangan sehingga merupakan bilangan irrasional.
Beberapa cara untuk mengklasifikasikan bilangan real, sebagai berikut : 1
Bilangan positif, bilangan negatif, atau nol 2
Bilangan rasional atau bilangan irrasional Jika representasi desimalnya berhenti, maka merupakan bilangan rasional
Jika representasi desimalnya berulang, maka merupakan bilangan rasional Jika bilangan tersebut tidak mempunyai representasi desimal yang
berhenti atau berulang, maka merupakan bilangan irrasional
b. Sifat-sifat himpunan bilangan Real
Misalkan maka berlaku
Penjumlahan Perkalian
Tertutup Asosiatif
Komutatif Distributif
perkalian terhadap
penjumlahan
c. Elemen identitas
a terhadap operasi penjumlahan yaitu terdapat sehingga untuk setiap
berlaku Bilangan
tersebut dinamakan elemen identitas pada penjumlahan identity for addition.
31
Modul PKB Guru Matematika SMA
b Terhadap operasi penjumlahan yaitu terdapat bilangan sehingga untuk
setiap berlaku
Bilangan tersebut dinamakan elemen identitas pada perkalian identity for
multiplication.
d. Sifat invers
a terhadap operasi penjumlahan yaitu untuk setiap bilangan , terdapat
dengan tunggal bilangan , dinamakan lawan atau invers penjumlahan
additive inverse dari , sehingga
b terhadap operasi perkalian yaitu untuk setiap bilangan , terdapat
dengan tunggal bilangan , dinamakan lawan atau invers
perkalian multiplication inverse dari , sehingga
.
Perhatikan contoh berikut.
Akan dicari bilangan yang jika dikalikan dengan hasilnya .
Karena , maka
merupakan invers dari pada perkalian.
6. Contoh Pembuktian Terkait Sistem Bilangan
Pada bagian ini akan diberikan beberapa uraian contoh pembuktian terkait sistem bilangan.
a.
Buktikan bahwa hasil penjumlahan dua bilangan bulat genap merupakan bilangan bulat genap.
Bukti:
32
Dibuktikan dengan metode pembuktian langsung. Misalkan
dan merupakan sebarang bilangan bulat genap. Akan dibuktikan bahwa
merupakan bilangan bulat genap. Menurut definisi bilangan genap,
dan untuk dan sebarang anggota bilangan bulat. Maka
Misalkan . Perhatikan bahwa jelas merupakan bilangan bulat karena
adalah hasil penjumlahan bilangan-bilangan bulat. Sehingga bentuk dapat
dituliskan sebagai , dengan merupakan bilangan bulat. Karena
, maka sesuai dengan definisi bilangan genap hasil penjumlahan juga bilangan genap. Dengan demikian terbukti bahwa hasil penjumlahan
dua bilangan bulat genap merupakan bilangan bulat genap.
b.
Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan bulat ganjil juga merupakan bilangan bulat ganjil.
Coba Anda buktikan, sebagai acuan bahwa m suatu bilangan ganjil jika , untuk suatu bilangan bulat.
c.
Buktikan bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional merupakan bilangan irrasional.
Bukti: Dibuktikan dengan metode kontradiksi.
Andaikan hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional bukan merupakan bilangan irrasional. Dengan kata lain, hasil penjumlahannya
merupakan bilangan rasional. Misalkan terdapat bilangan rasional
dan bilangan irrasional sedemikian hingga
merupakan bilangan rasional. Menurut definisi bilangan rasional, dan
, untuk suatu bilangan bulat dan , dengan dan .
Menggunakan substitusi diperoleh
