• Tidak semua anggota kelompok dipanggil oleh guru.
C. Peluang
Peluang adalah suatu nisbah yang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan bahwa suatu kejadian akan terjadi. Contohnya adalah
peluang bahwa angka tertentu akan muncul bila kita melempar sebuah dadu. Nisbah dinyatakan dengan bilangan pecahan, yaitu jumlah kemungkinan
bahwa kejadian tertentu akan terjadi dibagi dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Hitung peluang dikenal juga dengan nama Probabilitas.
Probabilitas ini mulai dikenal dan dikembangkan pada permulaan abad ke 17.
D. Pembelajaran Peluang
Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar yang digunakan untuk pembelajaran peluang adalah sebagai berikut:
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan,
dan sifat – sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar : 1.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah
Materi:
Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi
Indikator:
• Mampu menyusun aturan perkalian dan menggunakannya dalam pemecahan soal
• Mampu mendefinisikan permutasi dan menggunakannya dalam pemecahan soal
• Mampu mendefinisikan kombinasi dan menggunakannya dalam pemecahan soal
Penjelasan Materi dimbil dari buku Matematika untuk SMA Kelas XI Semester 1 oleh Sartono Wirodikromo 2003; 63 – 93
1. Aturan perkalian
Contoh: Jika Putri mempunyai 2 baju dan 3 celana. Berapa banyaknya pilihan untuk
memasangkan baju dan celana itu? Jawab:
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan beberapa cara sebagai berikut: Misalkan B adalah baju dan C adalah celana
• Dengan Tabel Silang C
C
1
C
2
C
3
B B
1
B
1
C
1
B
1
C
2
B
1
C
3
B
2
B
2
C
1
B
2
C
2
B
2
C
3
• Pasangan Berurutan Himpunan baju : B = { B
1
, B
2
} Himpunan celana : C = { C
1
, C
2,
C
3
} Pasangan berurutan himpunan B dan C ditulis :
{ B
1
, C
1
, B
1
, C
2
, B
1
, C
3
, B
2
, C
1
, B
2
, C
2
, B
2
, C
3
} • Dari beberapa uraian di atas, kita dapat langsung menentukan banyaknya
pasangan baju dan celana, yaitu :
A x B n A x B = n A x n B
Pada soal jawaban menjadi : 2 x 3 = 6
sehingga banyaknya pilihan untuk memasangkan baju dan celana ada 6 cara. • Jika kejadian pertama dapat terjadi dengan n
1
cara yang berbeda, kejadian kedua terjadi dalam n
2
cara yang berbeda dan kejadian ketiga dapat terjadi dengan n
3
cara yang berbeda, dst sampai kejadian ke - k, maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dalam
n
1
x n
2
x n
3
x …x n
k
cara yang berbeda. Aturan ini disebut sebagai aturan pengisian tempat dan sering disebut sebagai
aturan perkalian.
2. Notasi Faktorial
Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan: n = n x n-1 x n-2 x … x 3 x 2 x 1
untuk n = 0 maka n didefinisikan sebagai 0 = 1 Lambang atau notasi n dibaca sebagai n faktorial
Contoh: 4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
3. Permutasi
Misalkan dari 3 buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas 3 angka dengan bilangan – bilangan itu tidak mempunyai angka
yang sama. Susunan yang dapat dibentuk adalah sebagai berikut:
123 132
213 231 312 321
Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah 3 x 2 x 1 = 6 cara
Jadi, dari 3 angka yang ada jika diambil 3 angka maka dapat dibentuk 6 macam susunan yang berbeda.
Sekarang kalau dari 3 angka di atas akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas dua angka dengan bilangan – bilangan itu tidak mempunyai angka
yang sama, maka susunan yang dapat dibentuk adalah: 12
13 21
23 31 32 Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah 3 x 2 = 6 cara
Jadi, dari 3 angka yang ada jika hanya diambil 2 angka maka dapat dibentuk 6 macam susunan yang berbeda.
Kemungkinan susunan – susunan tersebut disebut permutasi.
Permutasi adalah susunan berbeda yang dapat dibentuk dari unsur – unsur yang tersedia dengan aturan – aturan tertentu.
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah dilambangkan dengan notasi:
atau
n
P
r
ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
Dengan syarat dimana r ≤ n
Ket: n = banyaknya unsur yang tersedia
r = banyaknya unsur yang diambil
4. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Misalkan ingin diketahui berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf a, a, dan b?
Jawab: Dengan cara permutasi sebelumnya kita peroleh susunan yakni
aab aba aab aba baa baa sehingga dari 3 huruf dapat dipermutasikan 6 macam cara.
Namun terlihat bahwa hasil permutasi tersebut ada yang sama, yaitu: aab = aab
aba = aba sehingga dalam hal ini kita dapat tuliskan sekali aab, aba, baa baa = baa
Jadi, permutasi 3 huruf dengan 2 unsur yang sama hanya dapat disusun dengan 3 macam cara yaitu aab, aba, baa.
Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama ditentukan sebagai berikut:
P = 3 =
Berdasarkan deskripsi di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:
• Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama k ≤ n,
maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan: Banyak
unsur yang tersedia Banyak
unsur yang sama
• Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama k+l+m
≤ n , maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
Keterangan: n
= unsur yang tersedia k, l, m
= unsur yang sama
5. Permutasi Siklis
Misalkan tiga orang sahabat Gerry, Agung, Putri akan menempati tiga buah kursi. Berapa kemungkinan mereka dapat menempati kursi tersebut jika kursi
tersebut disusun secara melingkar? Jawab:
Susunan penempatan 3 orang dapat diperlihatkan pada bagan berikut:
Gambar A Gambar B
¾ Susunan pada gambar A dapat dibaca sebagai berikut urutan membacanya searah dengan perputaran jarum jam:
• Jika Agung sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Agung, Gerry, Putri
Putri Gerry
Agung Agung
Gerry Putri
• Jika Gerry sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Gerry, Putri, Agung
• Jika Putri sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Putri, Agung, Gerry
Perhatikan bahwa susunan tersebut sama, seperti diperlihatkan Gambar A. ¾ Susunan pada gambar B dapat dibaca sebagai berikut:
• Jika Agung sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Agung, Putri, Gerry
• Jika Putri sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Putri, Gerry, Agung
• Jika Gerry sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Gerry, Agung, Putri
Perhatikan bahwa susunan tersebut juga sama, seperti diperlihatkan Gambar B Jadi banyak susunan 3 unsur yang ditempatkan pada sebuah kurva tertutup
berbentuk lingkaran seluruhnya ada 2 kemungkinan susunan.
Susunan unsur-unsur secara melingkar disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler circular permutation
Secara Umum,
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
P
siklis
= n – 1
6. Kombinasi
Jika kita memiliki sekumpulan data S = {a, b, c} akan diambil dua huruf tanpa memperhatikan urutan. Bagaimana cara penyusunannya?
Jawab: Oleh karena urutan tidak diperhatikan maka susunan yang dapat dibentuk:
ab = ba, ac = ca, dan bc = cb, dengan demikian hanya terdapat 3 susunan yaitu
ab ac
bc pilihan yang dilakukan dengan cara seperti itu disebut kombinasi 2 unsur yang
diambil dari 3 unsur yang tersedia. Jadi, kombinasi dapat didefinisikan sebagai berikut:
Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia tiap unsur berbeda adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan
urutannya r ≤ n
Secara umum, untuk menentukan banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang
tersedia ditentukan dengan rumus:
Dengan syarat dimana r ≤ n
Ket: n = banyaknya unsur yang tersedia
r = banyaknya unsur yang diambil
E. Keaktifan Siswa
Keaktifan belajar siswa merupakan salah satu unsur yang penting dalam proses pembelajaran di kelas. Kata keaktifan berasal dari kata aktif yang
berarti giat bekerja, berusaha yang kemudian mendapatkan awalan Ke – dan akhiran –an kemudian menjadi kata keaktifan yang artinya kegiatan,
kesibukan. Keaktifan di sini dimaksudkan sebagai segala aktifitas atau kegiatan yang dilakukan siswa dalam proses belajar mengajar di kelas.
Mereka aktif membangun pemahaman atas persoalan atau segala sesuatu yang mereka hadapi dalam kegiatan pembelajaran.
Menurut Erna F. Aries 2009 indikator keaktifan siswa yang dapat dijadikan penilaian dalam penelitian adalah sebagai berikut:
• Perhatian siswa terhadap penjelasan guru • Kerjasama dalam kelompok
• Kemampuan siswa mengemukakan pendapat dalam kelompok ahli • Kemampuan siswa mengemukakan pendapat dalam kelompok asal
• Memberi kesempatan berpendapat kepada teman dalam kelompok • Mendengarkan dengan baik ketika teman berpendapat
• Memberikan gagasan yang cemerlang • Membuat perencanaan dan pembagian kerja yang matang
• Keputusan berdasarkan pertimbangan anggota yang lain • Memanfaatkan potensi anggota kelompok
• Saling membantu dalam menyelesaikan masalah.
Dalam metode Number Heads Together, keaktifan juga sangat ditekankan kepada siswa. Hal ini bertujuan agar siswa tidak selalu bergantung
kepada penjelasan guru sehingga siswa dapat juga mencari sumber belajar dari teman – temannya di kelas atau mencari sumber belajar lain yang
relevan. Keaktifan yang ditekankan dalam metode Number Heads Together adalah sebagai berikut:
• Siswa aktif dalam diskusi kelompok maupun diskusi kelas • Memberikan kesempatan bertanya dan berpendapat kepada teman baik
dalam diskusi kelompok maupun dalam diskusi kelas. • Mendengarkan dengan baik ketika teman bertanya atau berpendapat dalam
diskusi kelompok maupun dalam diskusi kelas • Menanggapi ketika ada teman yang bertanya baik dalam diskusi kelas
maupun dalam diskusi kelompok. • Mengerjakan soal latihan atau pertanyaan yang diberikan oleh guru atau
yang ada di lembar kerja siswa. Penilaian yang akan peneliti gunakan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut: • Keaktifan siswa dalam kelompok, meliputi aspek - aspek sebagai berikut:
1. Bertanya yaitu siswa anggota kelompok bertanya kepada guru atau
bertanya kepada siswa lain dalam kelompoknya tentang materi atau tentang soal yang masih belum dipahami
2. Berpendapat yaitu siswa anggota kelompok mengajukan ide atau
gagasan kepada teman sekelompoknya dalam menjawab soal atau memahami materi
3. Mendengarkan yaitu siswa anggota kelompok mendengarkan siswa
lain dalam kelompoknya pada saat bertanya atau pada saat mengungkapkan pendapat
4. Menanggapi yaitu siswa anggota kelompok menanggapi pertanyaan
atau pendapat yang telah disampaikan siswa lain dalam kelompoknya. 5.
Penugasan yaitu siswa anggota kelompok dapat mengerjakan, menyelesaikan dan mengumpulkan tugas tepat pada waktunya.
• Keaktifan siswa dalam diskusi kelas, meliputi aspek - aspek sebagai berikut:
1. Presentasi yaitu salah satu siswa dalam kelompok mempresentasikan
hasil diskusi dengan teman sekelompoknya 2.
Mendengarkan yaitu siswa mendengarkan dengan seksama ketika ada siswa dari kelompok lain bertanya atau mengutarakan pendapat dalam
diskusi kelas 3.
Menanggapi yaitu siswa menanggapi pertanyaan atau pendapat siswa kelompok lain yang bertanya atau berpendapat saat diskusi kelas
4. Bertanya yaitu siswa bertanya kepada siswa kelompok lain yang
mempresentasikan hasil kerja kelompoknya, juga bertanya kepada guru jika ada kesalahan penyelesaian LKS yang dilakukan oleh
kelompok lain.
5. Berpendapat yaitu siswa mengutarakan pendapat saat kelompok lain
mempresentasikan hasil kerja kelompoknya. Dalam penelitian ini, ada beberapa aspek yang diambil peneliti untuk
menentukan keaktifan siswa di kelas baik itu dalam diskusi kelompok maupun dalam diskusi kelas. Aspek ini harus muncul ketika pembelajaran
dikelas, sehingga nanti akan dapat digunakan untuk penentuan keaktifan siswa di kelas. Aspek - aspek yang diambil untuk penelitian ini adalah
sebagai berikut: 1.
Berpendapat yaitu siswa anggota kelompok dapat mengajukan ide atau gagasan baik pada saat diskusi kelompok maupun saat diskusi kelas
dalam menjawab soal atau memahami materi. Aspek ini diperlukan karena dengan siswa berpendapat dalam diskusi kelompok ataupun
diskusi kelas, maka siswa cenderung akan dapat menemukan strategi baru dalam pemecahan masalah.
2. Mendengarkan yaitu siswa anggota kelompok mendengarkan siswa
lain baik saat diskusi kelompok maupun saat diskusi kelas pada saat bertanya atau pada saat mengungkapkan pendapat. Aspek ini
diperlukan karena dengan mendengarkan, siswa dapat memberikan respon positif kepada temannya untuk menanggapi apa yang
diutarakan oleh temannya dalam diskusi kelompok atau diskusi kelas. Mendengarkan juga melatih siswa untuk menghargai dan menghormati
temannya yang menyampaikan pendapat atau pertanyaan saat diskusi kelompok ataupun diskusi kelas.
3. Menanggapi yaitu siswa anggota kelompok menanggapi pertanyaan
atau pendapat yang telah disampaikan siswa lain saat diskusi kelompok atau saat diskusi kelas. Aspek ini diperlukan karena dengan
menanggapi pertanyaan atau pendapat yang disampaikan oleh siswa lain, maka siswa dapat belajar bagaimana memberikan respon positif
untuk menjawab pertanyaan maupun pendapat yang diutarakan oleh temannya sekelompok. Misalnya, apakah pendapat yang diutarakan
oleh temannya tersebut cocok untuk diterapkan dalam pemecahan masalah.
F. Hasil Belajar Matematika