4. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Misalkan ingin diketahui berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf a, a, dan b?
Jawab: Dengan cara permutasi sebelumnya kita peroleh susunan yakni
aab aba aab aba baa baa sehingga dari 3 huruf dapat dipermutasikan 6 macam cara.
Namun terlihat bahwa hasil permutasi tersebut ada yang sama, yaitu: aab = aab
aba = aba sehingga dalam hal ini kita dapat tuliskan sekali aab, aba, baa baa = baa
Jadi, permutasi 3 huruf dengan 2 unsur yang sama hanya dapat disusun dengan 3 macam cara yaitu aab, aba, baa.
Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama ditentukan sebagai berikut:
P = 3 =
Berdasarkan deskripsi di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:
• Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama k ≤ n,
maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan: Banyak
unsur yang tersedia Banyak
unsur yang sama
• Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama k+l+m
≤ n , maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
Keterangan: n
= unsur yang tersedia k, l, m
= unsur yang sama
5. Permutasi Siklis
Misalkan tiga orang sahabat Gerry, Agung, Putri akan menempati tiga buah kursi. Berapa kemungkinan mereka dapat menempati kursi tersebut jika kursi
tersebut disusun secara melingkar? Jawab:
Susunan penempatan 3 orang dapat diperlihatkan pada bagan berikut:
Gambar A Gambar B
¾ Susunan pada gambar A dapat dibaca sebagai berikut urutan membacanya searah dengan perputaran jarum jam:
• Jika Agung sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Agung, Gerry, Putri
Putri Gerry
Agung Agung
Gerry Putri
• Jika Gerry sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Gerry, Putri, Agung
• Jika Putri sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Putri, Agung, Gerry
Perhatikan bahwa susunan tersebut sama, seperti diperlihatkan Gambar A. ¾ Susunan pada gambar B dapat dibaca sebagai berikut:
• Jika Agung sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Agung, Putri, Gerry
• Jika Putri sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Putri, Gerry, Agung
• Jika Gerry sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Gerry, Agung, Putri
Perhatikan bahwa susunan tersebut juga sama, seperti diperlihatkan Gambar B Jadi banyak susunan 3 unsur yang ditempatkan pada sebuah kurva tertutup
berbentuk lingkaran seluruhnya ada 2 kemungkinan susunan.
Susunan unsur-unsur secara melingkar disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler circular permutation
Secara Umum,
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
P
siklis
= n – 1
6. Kombinasi
Kategori