Câuă49: Từ một khúc g̃ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, c n xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây.
Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nh t.
A.
3 34 17 2 2
x cm
B.
3 34 19 2 2
x cm
C.
5 34 15 2 2
x cm
D.
5 34 13 2 2
x cm
Câuă50: Hai thành phố A và B cách nhau
m ột con sông. Người ta xây dựng một cây
c u EF b ắt qua sông biết rằng thành phố A
cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố B cách con sông một khoảng là
7 km hình vẽ, biết tổng độ dài
24 HE
HF km
. H ỏi cây c u cách thành phố A một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ
thành phố A đến thành phố B là ngắn nh t i theo đường AEFB
A.
5 3km
B.
10 2km
C.
5 5km
D. 7,5km
L i gi i chi ti t
1-A 6-D
11-B 16-B
21-C 26-C
31-B 36-B
41-B 46-A
2-D 7-C
12-A 17-B
22-A 27-C
32-B 37-B
42-C 47-B
3-A 8-A
13-A 18-B
23-C 28-A
33-B 38-B
43-C 48-B
4-A 9-D
14-C 19-B
24-C 29-D
34-A 39-C
44-D 49-C
5-B 10-A
15-C 20-A
25-B 30-B
35-A 40-A
45-D 50-C
Câuă1.ăXét cơ số
1 3
2 1;
1; 1;0, 7 1
2
chỉ có
2
y log
x
đồng biến
0;
. Ch ̣n A
Câuă2.ă
1 3
2 2
4 4
1 4
4 . 2
1 4
y x
x y
x x
x
. Ch
̣n D
Câuă3.ăTa có ngay
2 2
2 2
2 6
2 2
AC a
SA SC
AC a
a a
Hình nón tròn xoay được t o thành là một hình nón có thể tích là:
3 2
2 2
1 1
1 4
. .2
.2 3
3 3
3 a
V R h
AC SA a
a
. Ch ̣n A
Câuă4.ăTa có ngay tứ giác ABCE là hình vuông
D CE
A CE
SDE CE
SA
D ựng hình như trên với PO là trục đường tròn ngo i tiếp
2 2
SED R
PE OP
OE
.
C nh 1
2 2
a OP
KE CE
C nh
2 2
2 2
2 2
2 2
, 2,
4 4 5
DE a SE
SA AE
a a
a SD
SA AD
a a
2 2
2 2
2 2
2 5
1 cos
135 2
.DE 2
2. 2
SE DE
SD a
a a
SED SED
SE a
a
Ta có
2 2
5 10
10 11
2 2sin135
2 4
4 2
sin SD
a a
a a
a OE
OE R
SED
. Ch ̣n A
Câuă5.ă
3 2
2 2
2 2
4 2
1 2
2 1 ;
2 1 0 1
x y
mx m
x x
mx m
y mx
m
V ới
m , ta có 0
y x
hàm số đ t cực trị t i x
A đúng
T ừ đó ta có thể th y ngay đáp án B sai, vì khi xét
m
thì hàm số chỉ có một điểm cực trị. Hàm s
ố có 3 điểm cực trị y
c
ó 3 nghiệm phân biệt
1
có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
2 2
2 2
1 8
1 1
1 1
2 .0 1
m m
m m
m m m
m m
m m
V
ới 0;
1 m
m
ta có 0 y
x hàm số đ t cực trị t i
x
M ặt khác,
; 1 0;1
m
thì y cũng chỉ đổi d u 1 l n, tức là có 1 cực trị. Vậy D cũng
đúng. Cḥn B. Câuă6.ăDựa vào đồ thị hàm số đi qua 2 điểm
0;0 O
và
2;1 B
nên chỉ có đáp án thỏa mãn yêu
c u. Ch ̣n D.
Câuă7.ăĐiều kiện
x
Khi đó
1 2
2 2
2 6
2
2 2
log 1
log 5log
6 1
log 6
2 64
x x
PT x
x x
x
th
ỏa mãn . Cḥn C
Câuă8.ăDiện tích c n tìm là
.
xq
S Rl
OA SA
C nh 2
2 2
AC a
OA
và
2
2 2
. .2
2 2
xq
a SA
a S
a a
. Ch ̣n A
Câuă9.ăDựa vào bảng biến thiên trên ta có ngay: Hàm số đ t cực đ i t i
3 x
và
5
CD
y
Hàm số đ t cực tiểu t i x
và
2
CT
y
. Ch ̣n D
Câuă10.ă
125 log
log125 log 4 3log 5 2 log 2
3 lg10 lg 2 2
3 1 2
3 5 4
a a
a a
.
Ch ̣n A
Câuă11.ăTa có
5
log 5log
a a
C b
b
. Ch ̣n B
Câuă12.ăĐồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng
1 x
và tiệm cận ngang 3
y
. Ch ̣n A.
Câuă13.ăDựa vào đồ thị ta có được lim
2
x
và lim
3
x
nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận
ngang là 2
y
và 3
y
. Ch ̣n A.
Câuă14.ăĐặt
sinx t
v
ới 3
x 0;
0; 1
3 2
t t
3 2
3
3 9 3
3 3
3 sin
3sin 2
8 y
t t
y t
y f x
x x
f
. Ch ̣n C
Câuă15.ăĐặt
2 2
2 2
2
2 2
x y
t x
y xy
x y
xy
do , x y
và x, y cùng d u 1
3 1
3 2 1
5 2
4 4
4 4
2 t
t t
P t
t t
t
. Ch ̣n C
Câuă16.ăĐáy hình vuông c nh a và đường cao tương ứng của hình hộp chữ nhật là b với ,
a b
Theo đề ta có:
2 2
2 2
3 3
2
10 40
20 20
20 20
2 2
3 2 6 100
2 4
tp tp
a b S
a a
a a
a a
a a
S a
ab
D u b ằng xảy ra khi
2 3
20 2
10 a
a a
mét. Cḥn B.
Câuă17.ă
2 2
2 2
2 2
2
4 2
8 2 2
2 2 x
y x
y x
y A
A x
y
= GTNN c ủa A bằng 2 2
khi
x y
x y
x y
, ch
ẳng h n 1
x y
. Ch ̣n B
Câuă18.ăĐặt độ dài c nh huyền là a, c nh góc vuông b t kì là b
Khi đó c nh góc vuông còn l i là
2 2
a b
Ta có
3 2
2
6 2
6 2 6 2
2 2 3
6 2
6 2 6
a b S
b b b
b b b
S b a
b b
b
Ta đã áp dụng BĐT Cauchy:
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 3
x y
z x
y z
x y z xyz
D u b ằng xảy ra khi
6 2 2
4 b
b b
a
. Ch ̣n B.
Câuă19.ăPT hoành độ giao điểm
2
2 1
1 2
2 1
x x m
x m
x m x
Để d cắt C t i 2 điểm phân biệt khi
2 2
6 6
2 4
2 2
3 2
1 2
2 3
2 2
m m
m m
m m
m m
m
Khi đó tọa độ giao điểm là
1 1
; 1
x x m
và
2 2
; 1
x x m
v ới
1 2
, x x
là nghiệm của phương trình
2
2 2
x m
x m
Ta có:
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1 2
12 2
2 8
AB x
x y
y x
x x
x x x
2 2
12 2 2
8 2
8 6
4 10
m m
m m
m
Hai điều kiện đều thỏa. Cḥn B Câuă20.ăTa có log10 log5 log2 1 log2 1 b
30
3 1 3 1
log 8 log 8
3log 2 log 8
log 30 log 2 log 3 log 5
log 2 1
1 b
b a b
b a b
a
Ch ̣n A.
Câuă21.ăGọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng ABCD. Ta có:
B D BD
A BD
, ,
d B A BD
d D A BD
M ặt khác, xét hình chữ nhật ADDA thì DA cắt AD t i trung điểm AD
, ,
d D A BD
d A A BD
G
ọi G là hình chiếu của A lên BD thì
A H AK
BD AK
A BD
, d A A BD
AK
Tính
2 2
2
1 1
1 3
2 a
AK AK
AD AB
. Ch ̣n C.
C âuă22.ă
2
1 1 1
3 3
3 x
x x
x x
x
. Ch ̣n A.
Câuă23.ăTa có
5 2
2 5
3
log 3 log 5
log 3 log 2
log 5 a
b
3 3
2 2
2 6
2 2
3 3
log 2
3 5
3 3log 3 log 5 3
3 log 100
log 6 1 log 5
1 a
a b
a ab
b a
a b b
. Ch ̣n C
Câuă24.ă
SBA ABC
SBC SB
ABC SBA
SBC SB
BC AB
AC a
do tam giác ABC đều
2 2
6 SB
SC BC
a
. Ch ̣n C
Câuă25.ăA là hình chiếu của A lên mặt phẳng ABC
A , 45
A C ABC
CA
L i có
3 AC
a
vì tam giác ABC cân t i A. Tam giác AAC vuông t i A có góc
A 45
CA
nên vuông cân t i A
3 AA
a
. Ch ̣n B
Câuă26.ăTa có
2
ln 2
ln 2 ln
1 ln
1 x
e x
PT x
x x
x e
. Ch ̣n C
Câuă27.ăTa có
4 3
4 4
1 4
1 2
1 1
x x
y y
x x
. Ch ̣n C
Câuă28.ăDễ th y
2 2
2 2
4a SA
SB AB
do đó tam giác SAB vuông
t i S. D ựng SH AB
, m
ặt khác
D SAB
ABC
Do đó
SH ABCD
L
i có .
3 2
SA SB a
SH AB
Do v ậy
3 .
1 3
. .
3 3
S ABCD ABCD
a V
SH S
. Ch ̣n A
Câuă29.ăTa có
1 5
1 1 5 5
1 6
5 3
3 6
2 3 6 3
2
. .
. . x
x x
x x x x
x
. Ch ̣n D
Câuă30.ăTa có
2
2 4log
5 2log 5
log 5 2
5 25
a a
a
a a
a
. Ch ̣n B
Câuă31.ăTa có
3 2
2 2
6 3
x y
y x
x x
. Do hàm số
1 2
a
nên điểm cực đ i là
0; 2 và 2 điểm cực tiểu là
5 3;
2
. Ch ̣n B
Câuă32.ăTa có
2 2
1 2
2 1
lim lim
2 4
4 1
x x
x x
x x
do v
ậy hàm số có TCN là 2
y
L i có
2 2
1 2
2 1
lim lim
2 4
4 1
x x
x x
x x
do v
ậy hàm số có TCN là 2
y
. Ch ̣n B.
Câuă33.ăTa có
1
1 ln 1
ln 1 1
y
y x
x y
e x
do đó
y
y e
. Ch ̣n B
Câuă34.ăTa có
3 2
2
1 1
1 4
. . r
. 2a .
3 3
3 3
n
a V
S h h
h h
a
. Ch ̣n A
Câuă35.ăTa có
2a 2
AC AB
BC
Do
S ; 60
60 C ABC
SCA
tan 60 2
2.tan 60 2
6 SA
AC a
a
Khi đó
3
1 4
6 .
3 3
ABC
a V
SA S
. Ch ̣n A.
Câuă36.ăTa có:
2
log 2
2 2
3 3
log 3log 2
4 log
4 1 4
log
t x
x
x x
x t
x t
2 2
2
log 1
1 2
4 3
3 log
3 8
x t
x t
t t
x x
. Ch ̣n B
Câuă37.ăTa có
4 2
2
log log
log 4 2
a
a
. Ch ̣n B
Câuă38.ăTa có:
D C BC DC BC
V V
Do
D C BC DC BC
V V
L i có
ABC D.ABCD
1 1
2 6
C BCD C
ABC
V V
V
Do v ậy
3 .
1 6
6
BCC D ABCD A B C D
a V
V
. Ch ̣n B
Câuă39.ăTheo công thứ t̉ số thể tích ta có:
1 1 2 1
. .
. . 2 2 3
6
AMNP ABCD
V AM AN AP
V AB AC AD
. Ch ̣n C
Câuă40.ăDựa vào đồ thị ta có
y với mọi
x
do đó ta lo i phương án B và D.
Rõ ràng tập xác định của hàm số là
x
nên đáp án đúng A. Cḥn A
Chú ý thêm đồ thị hàm số đi qua 2 điểm
1;0 M
và
;1 N e
nên chỉ có A là đáp án đúng.
Ch ̣n A
Câuă41.ăXét hàm số
4 2
2
x 9
10, x
y m
m x
. Ta có
3 2
y 4 mx
2 9
m x
Phương trình
3 2
2 2
4 2
9 2
9 x
y mx
m x
mx m
Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt
Hay
2
3 9
3 m
m m
m m
là giá trị c n tìm. Cḥn B
Gi i nhanh:
Hàm số
4 2
y ax
bx c
có 3 cực trị khi
2
3 9
3 m
ab m m
m
Câuă42.ăGiả sử thiết diện là hình chữ nhật MNPQ như hình vẽ.
V ới
4 O H
là khoảng cách từ trục đến thiết diện và
8; P
OQ r
6
d
OO h
O
Ta có
2 2
2 2
2 2
2 6 4
4 5 PQ
PH O P
O H
Khi đó
2
. 4 5.8
32 5
td
S PQ MQ
cm
. Ch ̣n C
Câuă43:ăTa có
.
1 . .
3
S ABCD ABCD
SI ABCD
V SI S
2 2
2 2
13 2
3 3
3 a
a AI
ID AI
AD BI
AI AB
Xét tam giác vuông SB,
2 2
2
SI IB
SB
2 2
2 2
7 13
11 2
3 6
a a
a SI
SB IB
Do đó
3 2
.
1 1
11 11
. . .
. 3
3 6
18
S ABCD ABCD
a a
V SI S
a
. Ch ọn C.
Câuă44.ăXét hàm số
3 2
1; 3
x y
mx mx
x
. Ta có
2
2 y
x mx m
. Để hàm số đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi 0;
y
a y
x
2 2
1 0 0;1
a m
m m
m m
là giá trị c n tìm. Cḥn D. Câuă45.ăTam giác ABC vuông t i
2 B
AC AB
AB BC
a
G ọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC
Nên 2
3 SG
SI
mà MN song song với BC suy ra 2
3 SM
SN SG
SC SB
SI
Do đó
. .
. .
4 4
. 9
9
S AMN S AMN
S ACB S ACB
V SM SN
V V
V SC SB
M ặt khác
3 2
.
1 1
1 .
. . . .
3 3
2 6
S ABC ABC
a V
SA S a
a
Suy ra
3 3
. .
4 4
2 .
9 9 6
27
S AMN S ACB
a a
V V
. Ch ̣n D
Câuă46.ăGọi H là tâm của hình vuông ABCD suy ra
OA r
là bán kính đường tròn đáy của hình tr
ụ. Khi đó, thể tích hình trụ bằng
2 2
3
1 r
. .
2 2
a V
h a
a
. Ch ̣n A.
Câuă47.ăDiện tích đ t bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao
G ọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đ t hình chữ nhật ban đ u l n lượt là
, ,
, x y m
x y
Chu vi m ảnh đ t hình chữ nhật ban đ u bằng
50 2
50 25
m x
y y
x
Bài ra, ta có ngay mảnh đ t được bán là một hình chữ nhật có diện tích là
2 2
25 625
625 25
25x 2x
2 78,125
8 8
2 2 S
x y x
x x
x x
D u = x ả ra
25 25
25 175
2 25
8 8
8 2 2
x x
y
Như vậy, diện tích đ t nước được bán ra lớn nh t 78,125 m
2
. Khi đó số tiền lớn nh t mà gia đình Nam nhận được khi bán đ t là 78,125.1500000 117187500
Ch ̣n D.
Câuă48.ăGọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật, có
3
5.1.2 10 V
m
Ta có
3
0,1.4,9.2 0,98m
H
V
và
3
0,1.1.2 0, 2
H
V m
Do đó
3
0,98 0, 2 1,18
H H
V V
m
. Mà thể tích của một viên g ch là
3
0, 2.0,1.0, 05 0, 001m
G
V
.
Nên số viên g ch c n sử dụng là: 1,18
1180 0, 001
H H
G
V V
V
viên g ch. Th
ể tích thực của bồn là
3 3
10 1,18 8,82
8820 8820
B B
V m
V dm
l
. Ch ̣n B
Câuă49.
Di ện tích sử dụng theo tiết diện ngang là
4
MNPQ
S S
xy
C
nh hình vuông
40 20 2
2 2
MP MN
cm
2
20 2 4
800 4 S
xy xy
1 Ta có 2
20 2 20 2
40 20 2 x
AB MN AB
BD
20 10 2
x
L
i có
2 2
2 2
2 2
40 2
20 2 1600
AB AD
BD x
y
2 2
2
800 80 2
4 800 80
2 4
y x
x y
x x
Th
ế vào
2 2
3 4
1 800 4
800 80 2
4 800 4 800
80 2
4 S
x x
x x
x x
Xét hàm số
2 3
4
800 80
2 4
f x x
x x
, v
ới
0; 20 10 2 x
có
2 3
2
1600 240
2 16 16
100 15 2
f x
x x
x x
x x
Ta có
2
0; 20 10 2 0; 20 10 2
5 34 15 2 2
16x 100 15x 2 x
x x
f x
x
Khi đó 5 34 15 2
2 x
chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Cḥn C. Câuă50.ăĐặt
HE x
và KF y , theo giả thiết ta có
24 HE
KF x
y
Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được
2 2
2 2
2 2
25 49
AE AH
HE x
BF BK
KF y
Vì độ dài c u EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nh t theo con đường AEFB thì AE EF FB
ng ắn nh t. Hay AE BF
ng
ắn nh t. Ta có
2 2
25 49
P AE
BF x
y
v
ới 24,
0, x
y x
y
Cáchă1.ăSử dụng b t đẳng thức
2 2
2 2
2 2
a b
c d
a c b d
v i m ̣i , , ,
a b c d
Vì
2 2
2 2
2 2
2
0, , , ,
a b
c d
a c b d
ad bc
a b c d
S
ử dụng b t đẳng thức trên, ta được
2 2
2 2
2 2
5 7
5 7 12 5
P x
y x
y
D u b
ằng xảy ra khi và chỉ khi 5
7 x
y suy ra
10, y 14 x
nên
AE 5 5km
Cáchă2:ăVới
2 2
24 24
25 48
625 x
y y
x P
f x x
x x
, v ới
24 x
Có
2 2
24 ,
x 0; 24 ;
10 25
48 625
x x
f x
f x
x x
x x
Do đó
min 12 5
10 5 5
f x x
AE km
. Ch ̣n C
TR NGăTHPTăCHUYÊNăL ƠNGăVĔNăTỤY
Đ THI TH THPT QU C GIA L N 1 Môn:ăToán
Th iăgianălàmăbài:ă90ăphút
