Deret Geometri Tak Hingga

Barisan dan Deret 87 Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut. 2 2 3 2 9 + + + + ... Jawab: Berdasarkan deret tersebut dapat Anda ketahui a = 2 dan r = 1 3 . Dengan demikian, S ∞ = a r 1 - = 2 1 1 3 - = 2 2 3 = 3 Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 3. Suku ke- n dari suatu deret geometri tak hingga adalah 5 – n . Tentukan jumlah deret geometri tak hingga tersebut. Jawab: U n = 5 – n maka a = U 1 = 5 –1 = 1 5 , U 2 = 5 –2 = 1 5 2 = 1 25 r = U U 2 U 1 U U = 1 25 1 5 = 1 25 5 1 ¥ = 5 25 = 1 5 S ∞ = a r 1 - = 1 5 1 1 5 - = 1 5 4 5 = 1 5 5 4 ¥ = 1 4 Jadi, jumlah deret tersebut adalah 1 4 . Dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga, nyatakan pecahan desimal 0,2222... ke dalam bentuk pecahan biasa. Jawab: 0,2222... = 0,2 + 0,02 + 0,002 + ... = 0,2 + 0,2 0,1 + 0,2 0,01 + ... = 0,2 + 0,2 0,1 + 0,2 0,1 2 + ... Ternyata bentuk 0,2222... dapat dibentuk ke dalam bentuk deret geometri tak hingga dengan suku pertama a = 0,2 dan rasio r = 0,1. Oleh karena r = 0,1 –1 r 1 maka deret ini konvergen dengan: S ∞ = a r 1 - = 0 2 1 0 1 , , = 0 2 0 9 , , = 2 9 Jadi, bentuk desimal 0,2222... ekuivalen dengan pecahan 2 9 . Contoh Soal 3.17 Contoh Soal 3.18 Contoh Soal 3.19 Pembahasan Soal Pembahasan Soal Jumlah deret tak hingga 1 – tan 2 30º + tan 4 30º – tan 6 30º + ... + –1 n tan 2n 30º adalah .... a. 1 d. 3 2 b. 1 2 e. 2 c. 3 4 Jawab: 1 – tan 2 30º + tan 4 30º – tan 6 30º + ... + –1 n tan 2n 30º + ... Berdasarkan deret tersebut, diketahui: a = 1 r = – tan 2 30º Jumlah deret tak hingganya S a r • = - = = + = 1 1 1 3 + tan 0 1 1 1 3 1 4 2 o 3 3 3 4 = Jadi, jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3 4 Jawaban: c Sumber: UMPTN, 1999 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 88 Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan limit jumlah 9. Jika suku pertama deret tersebut adalah 6, tentukan rasio dari deret tersebut. Dari soal diketahui bahwa a = 6 dan S ∞ = 9. Jawab: S ∞ = a r 1 - 9 = 6 1 - r 9 – 9 r = 6 9 r = 3 r = 1 3 Jadi, rasio dari deret geometri tersebut adalah 1 3 . Akibat adanya wabah fl u burung, seorang peternak ayam mengalami kerugian. Setiap dua puluh hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Jika setelah 2 bulan jumlah ayam yang tersisa tinggal 200 ekor, berapakah jumlah ayam semula yang dimiliki peternak tersebut? Jawab: Masalah tersebut merupakan aplikasi dari barisan geometri. Dari permasalahan tersebut diketahui U n = 200, r = 1 2 , dan n = 2 20 bulan aa hari a = 2 30 20 hari hari = 3 Berdasarkan konsep barisan geometri, diperoleh U n = ar n–1 200 = a 1 2 3 1 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ 200 = a 1 2 2 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ a = 4 × 200 = 800 Jadi, jumlah ayam yang dimiliki peternak tersebut adalah 800 ekor. Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 6 m. Pada setiap pantulan, bola memantul dan mencapai ketinggian 2 3 dari ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan yang terjadi hingga bola benar-benar berhenti. Contoh Soal 3.20 Contoh Soal 3.21 Contoh Soal 3.22

4. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri

Sama halnya seperti barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri pun dapat digunakan dalam memecahkan masalah-masalah yang ada dalam kehidupan sehari-hari. Sumber: www.iptekda.lipi.go.id Sumber: www.ldb.com.do Gambar 3.4 : Peternakan ayam Gambar 3.5 : Bola basket Barisan dan Deret 89 6 m Gambar 3.6 Tali putus Jawab: Panjang lintasan total bola hingga berhenti dinyatakan oleh deret berikut. S ∞ = h + 2 h 1 + h 2 + ... h o = ketinggian mula-mula 6 m h 1 = 2 3 h = 2 3 × 6 = 4 m h 2 = 2 3 h 1 = 2 3 . 2 3 Ê ËÁ ˆ ¯˜ h = 2 3 2 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ h = 4 9 6 24 9 ¥ = 6 m h 3 = 2 3 h 2 = 2 3 . 2 3 2 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ h = 2 3 3 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ h = 8 27 m h n = 2 3 h n–1 Dengan demikian, Anda dapat menuliskan S ∞ = h + 2 h 1 + h 2 + ... + h 50 = 6 2 2 3 2 3 2 6 + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ 6 + Ê Ë Á ÊÊ ÁËË ÁÁ ˆ ¯ ˜ ˆˆ ˜¯¯ ˜˜ ... = 6 2 4 2 3 4 2 3 4 2 + 2 4 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + Ê Ë Á ÊÊ ÁËË ÁÁ ˆ ¯ ˜ ˆˆ ˜¯¯ ˜˜ ... Dapat Anda lihat bahwa 4 2 3 4 2 3 4 2 + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + ... merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan a = 4 dan r = 2 3 . Oleh karena itu, jumlah dari deret tersebut misalkan D adalah D = a r 1 - = 4 1 2 3 - = 4 1 3 = 12 Dengan demikian, S ∞ = 6 + 2D = 6 + 2 12 = 6 + 24 = 30 Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola sampai bola berhenti adalah 30 m. Seutas tali dipotong menjadi 4 bagian, sedemikian sehingga panjang dari potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika potongan tali yang terpendek adalah 0,5 cm dan yang paling panjang 108 cm, tentukan panjang tali semula. Jawab: Dengan memodelkan masalah tersebut ke dalam bahasa matematika, n = 4, U 1 = a = 0,5 cm, dan U 4 = 108 cm. U 4 = ar 4 – 1 = 108 0,5 r 3 = 108 r 3 = 216 r = 6 Contoh Soal 3.23 Sumber: www.ropefailed.com