Matriks
49
1. Carilah hasil operasi matriks berikut. a.
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 5
3 4
2 -
+ 4
7 11 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b. 5
3 5
2 7
9 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
– 3
4 1 2
5 0 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c. 2
3 5
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ + 3
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
4
d.
2 1
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
2. Carilah matriks X, yang memenuhi
4 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 5 3
4 + 2 X = 7
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 4
5 2
1 -
3. Carilah nilai w, x, y, dan z pada persamaan berikut.
3 x
2 5 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
+ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 w y
2 =
8 z
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 7
1
4. Diketahui matriks-matriks
A = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 3
2 , B =
2 1
1 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 , dan C =
3 1
2 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 Tentukan nilai :
a. A · B d. B
t
A
t
b. B + CA e. ABC
c. 3A2B 5. Diketahui matriks-matriks
P = 1
1 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
, Q = 1
2 2
-1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan R =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 0
1 1
Tentukan nilai:
a. 2P + Q
2
– 3R
c. P
2
– Q
2
b. P – QP + Q d. P – QP + Q = P
2
+ Q
2
2 2
1 4
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
1 4
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ = 3
2x y
z w
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
5 20
5 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
6 3
3 3
x y
3 w
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
10 40
10 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
6 3
3 3
x y
3 w
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Dengan memperhatikan elemen-elemen matriks yang seletak, diperoleh 6x = 0
¤ x = 0
3y = –10 ¤
y = – 10
3 –3z = 40
¤ z = –
40 3
3w = 10 ¤
w = 10
3 Nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B
2
= 3D adalah w =
10 3
, x = 0, y = – 10
3 dan z = –
40 3
.
D. Determinan dan Invers Matriks
Pengalaman mempelajari subbab sebelumnya akan di perguna kan dalam mempelajari determinan dan invers matriks pada subbab ini.
1. Determinan Matriks Persegi
Pada bagian sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan
materi determinan matriks persegi yang dibahas di buku ini dibatasi hanya sampai matriks 3 × 3.
Tes Pemahaman Tes Pemahaman 2.3
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
50
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut P =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 3 1
Q = 3
2 1
a È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ R =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 3
10 z
3 y
y -
Jawab:
det P = -2 3
1 = –2 × 0 – 1 × 3 = 0 – 3 = –3
det Q = 3
2 1
a = 3a × 1 – a × –2 = 3a + 2a = 5a
det R = -
- 2
3 10
z 3
y y
- = –2z × –y – –10y × 3z = 2yz + 30yz = 32yz
Contoh Soal 2.15
Diketahui matriks A = 2
10 4 3
a a
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ .
Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Jawab:
det A = 0 det A =
2 10 4
3 a
a -
= 2a – 10 × a – –3 × 4 = 2a
2
– 10a + 12 Oleh karena det A = 0 maka
2a
2
– 10a + 12 = 0 a
2
– 5a + 6 = 0 kedua ruas dikali 1
2 a – 2a – 3 = 0
a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2 atau a = 3
Jadi, nilai a yang memenuhi det A = 0 adalah 2 dan 3.
Contoh Soal 2.16
det A = |A| = a
bb a
c d
c d
ÈÈ ÎÎ
Í ÈÈ
ÎÎ ˘˘˘˘
˚˚˚˚ ˙
˘˘ ˚˚
= a × d – b × c = ad – bc diagonal sekunder
diagonal utama
Determinan matriks A di defi nisikan sebagai selisih antara perkalian elemen- elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal
sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
Defi nisi Defi nisi
a. Determinan Matriks 2 × 2
Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A
adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk A = a
b c
d È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ .
Berdasarkan defi nisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu:
Cobalah
Jika A
x x
x =
- x
Í 2
1 x +
1 3
maka jumlah semua nilai x, sehingga A = 27 adalah ....
Sumber: SPMB, 1976