Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
44
Diketahui matriks-matriks berikut. A =
4 5
10 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
B = 2
11 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ Tentukan:
a. 3A dan 5A c. 23B
b. 2A + B d. –1A
Jawab: a. 3A =
3 4
5 10
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
3 4 3
3 10 3 2
4 3
¥ 10
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 5
= 12
15 30
6 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
5A = 5
4 5
10 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 5 4
5 5 10
5 2 4
5 ¥
10 5
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
5 =
20 25
50 10
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
b. 2A + B =
2 4
5 10
2 2
11 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ +
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Ê Ë
Á ÊÊ
ËË ˆ
¯ ˜
ˆˆ ¯¯
= 2
6 5
21 5
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 2 6
2 2 21
2 5 6
2 ¥
21 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
5 =
12 10
42 10
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c. 23B =
2 3 2
11 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ Ê
ËËË ˆ
¯ ˜
ˆˆ ¯¯
= 2
3 2 3 0
3 11 3 3 2
3 ¥
11 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 6
33 9 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 6 2 0
2 33 2 9 6
2 ¥
33 2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
12 66 18
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
d. –1A =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
4 5
- 10
2 =
– –
– 4
– 1 10
1 2 ¥
10 1
– È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
– –
4 5
10 2
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
Contoh Soal 2.10
Misalkan, D = –5
4 7
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ , H =
1 3
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan skalar-
skalar a dan b dengan a = 2 dan b = –1
1. Hitunglah
aD + aH dan aD + H. Apakah
aD + aH = aD + H?
Lakukan kegiatan berikut bersama teman sebangku Anda. 2. Hitunglah
aD + bD dan a + bD. Apakah
aD + bD = a + bD?
3. Hitunglah
abD dan abD Apakah
abD = abD? Analisis: Dari hasil yang Anda peroleh pada langkah 2,
3, dan 4, tentukan kesimpulan yang dapat Anda ambil mengenai sifat-sifat perkalian skalar.
Kegiatan 2.2
2.2
Dari Kegiatan 2.2, apakah kesimpulan yang Anda peroleh tentang sifat- sifat perkalian skalar sama seperti yang tertera berikut?
Matriks
45
4. Perkalian Matriks
Dua buah matriks atau lebih selain dapat dijumlahkan atau dikurangkan, juga dapat dikalikan. Untuk memudah
kan Anda dalam memahami perkalian matriks, pelajari uraian berikut dengan baik.
Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3 buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan
5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah buku Rp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masing-
masing siswa tersebut?
Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut.
Penyelesaian dari permasalahan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan aljabar biasa atau menggunakan matriks. Dalam hal ini,
permasalahan tersebut akan diselesaikan menggunakan matriks, sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari.
Langkah pertama adalah menuliskan model dari masalah tersebut menjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh:
• Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera dinyatakan oleh matriks P, yaitu
P =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 2 2 5
• Data harga bolpoin dan buku dinyatakan oleh matriks Q, yaitu Q
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 000
2 500 .
. Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakan
banyak nya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dan kolom pertama matriks Q menyatakan harga bolpoin. Dengan demikian,
untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki adalah dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P dengan
elemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, 31.000. Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan cara
mengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriks P dengan elemen baris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini 22.500. Harga
belanjaan yang dibayar Riki adalah penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu 31.000 + 22.500 = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan Riki
Rp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera? Riki
3 2
Fera 2
5
Bolpoin Buku
Bolpoin 1.000
Buku 2.500
Harga Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut
1. aD + aH = aD + H 2. aD + bD = a + bD
3. abD = abD
