Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
50
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut P =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 3 1
Q = 3
2 1
a È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ R =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 3
10 z
3 y
y -
Jawab:
det P = -2 3
1 = –2 × 0 – 1 × 3 = 0 – 3 = –3
det Q = 3
2 1
a = 3a × 1 – a × –2 = 3a + 2a = 5a
det R = -
- 2
3 10
z 3
y y
- = –2z × –y – –10y × 3z = 2yz + 30yz = 32yz
Contoh Soal 2.15
Diketahui matriks A = 2
10 4 3
a a
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ .
Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Jawab:
det A = 0 det A =
2 10 4
3 a
a -
= 2a – 10 × a – –3 × 4 = 2a
2
– 10a + 12 Oleh karena det A = 0 maka
2a
2
– 10a + 12 = 0 a
2
– 5a + 6 = 0 kedua ruas dikali 1
2 a – 2a – 3 = 0
a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2 atau a = 3
Jadi, nilai a yang memenuhi det A = 0 adalah 2 dan 3.
Contoh Soal 2.16
det A = |A| = a
bb a
c d
c d
ÈÈ ÎÎ
Í ÈÈ
ÎÎ ˘˘˘˘
˚˚˚˚ ˙
˘˘ ˚˚
= a × d – b × c = ad – bc diagonal sekunder
diagonal utama
Determinan matriks A di defi nisikan sebagai selisih antara perkalian elemen- elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal
sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
Defi nisi Defi nisi
a. Determinan Matriks 2 × 2
Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A
adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk A = a
b c
d È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ .
Berdasarkan defi nisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu:
Cobalah
Jika A
x x
x =
- x
Í 2
1 x +
1 3
maka jumlah semua nilai x, sehingga A = 27 adalah ....
Sumber: SPMB, 1976
Matriks
51
b. Determinan Matriks 3 × 3
Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk
A = a
a a
a a
a a
a a
11 12
13 21
22 23
31 32
33
È Î
Í ÈÈ
Í ÍÍ
ÍÎÎ ÍÍ
˘ ˚
˙ ˘˘
˙ ˙˙
˙ ˚˚
˙˙ Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 × 3, akan
digunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkah- langkah yang harus Anda lakukan untuk mencari determinan matriks
berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut: 1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah
kanan tanda determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama
dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama lihat gambar. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan D
u
a a
a a
a a
a a
a
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
D
u
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder
dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder lihar gambar. Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan D
s
. a
a a
a a
a a
a a
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
D
s
= a
31
a
22
a
13
+ a
32
a
23
a
31
+ a
33
a
21
a
12
4. Sesuai dengan defi nisi determinan matriks maka determinan dari
matriks A adalah selisih antara D
u
dan D
s
yaitu D
u
– D
s
. det A =
a a
a a
a a
a a
a
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
31
a
22
a
13
+ a
32
a
23
a
31
+ a
33
a
21
a
12
Diketahui matriks A = -
- È
Î Í
Í Í
˘ ˚
˙ ˙
˙ 3 4
2 2
1 3
1 1
. Tentukan nilai determinan matriks A.
Jawab:
det A = -
- 3 4
2 2
1 3
1 1
-3 4 2
1 1
= [–3
× 1 × –1 + 4 × 3 × 1 + 2 × 2 × 0] – [1 × 1 × 2 +
× 3 × –3 + –1 × 2 × 4]
= 3 + 12 + 0 – 2 + 0 – 8 = 21 Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.
Contoh Soal 2.17 Cobalah
Cobalah
Jika det
t -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 3
- 4
1 t
- t
, tentukan nilai t yang memenuhi
persamaan tersebut.
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
52
2. Invers Matriks Persegi
Pada bagian D.1, Anda telah mempelajari determinan dari suatu matriks persegi. Konsep determinan tersebut akan dipergunakan untuk mencari
invers dari suatu matriks. Pembahasan dibatasi hanya untuk matriks persegi ordo 2
×
2. Ketika di SMP, Anda telah mempelajari operasi hitung pada bilangan.
Pada saat mempelajari konsep tersebut, Anda dikenalkan dengan istilah invers kebalikan bilangan. Suatu bilangan jika dikalikan dengan inversnya
akan menghasilkan unsur identitas. Senada dengan hal tersebut, dalam aljabar matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Ketika Anda mengalikan
suatu matriks dengan matriks inversnya, akan dihasilkan identitas, yang dalam hal ini adalah matriks identitas.
Sebagai ilustrasi bagi Anda, perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut.
• Misalkan A =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3
1 -
5 2
dan B = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 1
- 5
3 maka
AB = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3
1 -
5 2
2 1
- 5
3 =
6 5 3 3
10 10 5 6
5 3
- + 10
-5 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= I
2
Perkalian AB menghasilkan I
2
matriks identitas berordo 2 × 2 • Misalkan
P = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
7 2 4
1 dan Q =
1 2
4 7
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
maka PQ =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
7 2 4 1
1 2
- 4
7 -
= -
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
7 8 +
14 14 4 4
+ 8 7
- =
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= I
2
Perkalian PQ menghasilkan I
2
. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda
ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas AB = I Ini menunjukkan matriks B merupakan matriks
invers dari matriks A, yaitu B = A
–1
atau bisa juga dikatakan bahwa matriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B
–1
. Begitu pula untuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa.
Dengan demikian, didapatkan defi nisi dari invers matriks.
Defi nisi Invers Matriks Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi
persamaan AB = BA = I
2
maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.
Defi nisi Defi nisi
