Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
48
Pembahasan Soal Pembahasan Soal
Diketahui matriks-matris B =
2 1
4 3
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
dan D = 2x
y z
w -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Tentukan nilai-nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B
2
= 3D.
Jawab:
2B
2
= 3D 2 B × B = 3D
Contoh Soal 2.14
5. Perpangkatan Matriks Persegi
Di Kelas X Anda telah mengenal perpangkatan suatu bilangan ataupun perpangkatan suatu variabel. Perpangkatan adalah perkalian berulang dari
bilangan atau variabel tersebut sebanyak bilangan pangkatnya. Misalkan,
2
2
= 2 × 2 atau a
2
= a × a 2
3
= 2 × 2
2
a
3
= a × a
2
dan seterusnya. dan seterusnya.
Pada matriks pun berlaku aturan seperti itu.
Diketahui matriks A =
1 2
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
a. Tentukan A
2
dan A
3
b. Tentukan 2A
3
– 3A
2
Jawab: a. A
2
= A × A = 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
A
3
= A × A
2
= 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b. 2A
3
– 3A
2
= 2 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
– 3 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 4
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ –
3 0 0 3
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 4
5 -
Contoh Soal 2.13
Sebanyak n buah
Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefi nisikan sebagai berikut.
A
2
= A × A A
3
= A × A
2
= A × A × A A
n
= A × A
n – 1
= A × A × A ... × A
Jika A = 1 0
2 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan I
matriks satuan ordo dua maka A
2
– 2A + 1 = ....
a.
4 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
d.
4 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b.
0 0 3 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
e.
2 4
4 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c.
1 0 3 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Jawab:
A
2
= A · A =
1 0 2 3
1 0 2 3
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1 0
8 9 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ I matriks satuan ordo dua.
Berarti I = 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ A
2
– 2A + I =
1 0 8 9
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
–2 1 0
2 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ +
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1 0
8 9 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ –
2 0 4 6
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
+ 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
4 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Jawaban: d
Sumber: UMPTN, 1993
Cobalah Cobalah
Jika diketahui A
= Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ +
- -
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ 4
2 x
- 3
2 6
8 11
6 =
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ +
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ 2
3 1
2 4 3
1 1 tentukanlah nilai x.
Sumber: UMPTN, 1998
Matriks
49
1. Carilah hasil operasi matriks berikut. a.
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 5
3 4
2 -
+ 4
7 11 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b. 5
3 5
2 7
9 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
– 3
4 1 2
5 0 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c. 2
3 5
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ + 3
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
4
d.
2 1
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
2. Carilah matriks X, yang memenuhi
4 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 5 3
4 + 2 X = 7
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 4
5 2
1 -
3. Carilah nilai w, x, y, dan z pada persamaan berikut.
3 x
2 5 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
+ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 w y
2 =
8 z
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 7
1
4. Diketahui matriks-matriks
A = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 3
2 , B =
2 1
1 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 , dan C =
3 1
2 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 Tentukan nilai :
a. A · B d. B
t
A
t
b. B + CA e. ABC
c. 3A2B 5. Diketahui matriks-matriks
P = 1
1 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
, Q = 1
2 2
-1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan R =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 0
1 1
Tentukan nilai:
a. 2P + Q
2
– 3R
c. P
2
– Q
2
b. P – QP + Q d. P – QP + Q = P
2
+ Q
2
2 2
1 4
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
1 4
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ = 3
2x y
z w
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
5 20
5 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
6 3
3 3
x y
3 w
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
10 40
10 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
6 3
3 3
x y
3 w
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Dengan memperhatikan elemen-elemen matriks yang seletak, diperoleh 6x = 0
¤ x = 0
3y = –10 ¤
y = – 10
3 –3z = 40
¤ z = –
40 3
3w = 10 ¤
w = 10
3 Nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B
2
= 3D adalah w =
10 3
, x = 0, y = – 10
3 dan z = –
40 3
.
D. Determinan dan Invers Matriks
Pengalaman mempelajari subbab sebelumnya akan di perguna kan dalam mempelajari determinan dan invers matriks pada subbab ini.
1. Determinan Matriks Persegi
Pada bagian sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan
materi determinan matriks persegi yang dibahas di buku ini dibatasi hanya sampai matriks 3 × 3.
Tes Pemahaman Tes Pemahaman 2.3
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.