BA Mahir Matematika Kelas 12 Geri Achmadi Dwi Gustanti Dani Wildan Hakim Wil 2008

Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 48 Pembahasan Soal Pembahasan Soal Diketahui matriks-matris B = 2 1 4 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan D = 2x y z w - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Tentukan nilai-nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B 2 = 3D. Jawab: 2B 2 = 3D 2 B × B = 3D Contoh Soal 2.14

5. Perpangkatan Matriks Persegi

Di Kelas X Anda telah mengenal perpangkatan suatu bilangan ataupun perpangkatan suatu variabel. Perpangkatan adalah perkalian berulang dari bilangan atau variabel tersebut sebanyak bilangan pangkatnya. Misalkan, 2 2 = 2 × 2 atau a 2 = a × a 2 3 = 2 × 2 2 a 3 = a × a 2 dan seterusnya. dan seterusnya. Pada matriks pun berlaku aturan seperti itu. Diketahui matriks A = 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

a. Tentukan A

2 dan A 3

b. Tentukan 2A

3 – 3A 2 Jawab: a. A 2 = A × A = 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ A 3 = A × A 2 = 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

b. 2A

3 – 3A 2 = 2 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ – 3 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 2 4 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ – 3 0 0 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 4 5 - Contoh Soal 2.13 Sebanyak n buah Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefi nisikan sebagai berikut. A 2 = A × A A 3 = A × A 2 = A × A × A A n = A × A n – 1 = A × A × A ... × A Jika A = 1 0 2 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan I matriks satuan ordo dua maka A 2 – 2A + 1 = .... a. 4 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ d. 4 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ b. 0 0 3 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ e. 2 4 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ c. 1 0 3 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Jawab: A 2 = A · A = 1 0 2 3 1 0 2 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 0 8 9 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ I matriks satuan ordo dua. Berarti I = 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ A 2 – 2A + I = 1 0 8 9 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ –2 1 0 2 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ + 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 0 8 9 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ – 2 0 4 6 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ + 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 4 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Jawaban: d Sumber: UMPTN, 1993 Cobalah Cobalah Jika diketahui A = Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + - - - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ 4 2 x - 3 2 6 8 11 6 = - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ 2 3 1 2 4 3 1 1 tentukanlah nilai x. Sumber: UMPTN, 1998 Matriks 49

1. Carilah hasil operasi matriks berikut. a.

- È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 3 4 2 - + 4 7 11 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

b. 5

3 5 2 7 9 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ – 3 4 1 2 5 0 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

c. 2

3 5 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ + 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 4 d. 2 1 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

2. Carilah matriks X, yang memenuhi

4 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 5 3 4 + 2 X = 7 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 4 5 2 1 -

3. Carilah nilai w, x, y, dan z pada persamaan berikut.

3 x 2 5 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ + - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 w y 2 = 8 z - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 7 1

4. Diketahui matriks-matriks

A = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 3 2 , B = 2 1 1 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 , dan C = 3 1 2 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 Tentukan nilai :

a. A · B d. B

t A t b. B + CA e. ABC

c. 3A2B 5. Diketahui matriks-matriks

P = 1 1 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , Q = 1 2 2 -1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan R = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 0 1 1 Tentukan nilai: a. 2P + Q 2 – 3R

c. P

2 – Q 2 b. P – QP + Q d. P – QP + Q = P 2 + Q 2 2 2 1 4 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 1 4 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 3 2x y z w - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 5 20 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 6 3 3 3 x y 3 w 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 10 40 10 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 6 3 3 3 x y 3 w 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Dengan memperhatikan elemen-elemen matriks yang seletak, diperoleh 6x = 0 ¤ x = 0 3y = –10 ¤ y = – 10 3 –3z = 40 ¤ z = – 40 3 3w = 10 ¤ w = 10 3 Nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B 2 = 3D adalah w = 10 3 , x = 0, y = – 10 3 dan z = – 40 3 .

D. Determinan dan Invers Matriks

Pengalaman mempelajari subbab sebelumnya akan di perguna kan dalam mempelajari determinan dan invers matriks pada subbab ini.

1. Determinan Matriks Persegi

Pada bagian sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan materi determinan matriks persegi yang dibahas di buku ini dibatasi hanya sampai matriks 3 × 3. Tes Pemahaman Tes Pemahaman 2.3 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.