Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
42
Diketahui matriks-matriks berikut. D =
2 5
1 6
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
H = 1
1 3
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ W =
1 6 8 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
S = 4
1 3
5 2
4 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Tentukan : a. D + W
c. H – S
b. W – H
d. W + S
Jawab: a. D + W =
2 5
1 6
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
+ 1 6
8 2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 + 1 5 + 6
1 + 8 6 + 2
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 1 9 8
b. W – H =
1 6 8 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
– 1
1 3
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 1 8 3
2 2 1
3 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
6 -
1 -
= 0 7
5 0 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c. H – S Matriks
H tidak dapat dikurangi matriks S karena memiliki ordo yang dimiliki masing-masing matriks berbeda.
d. W + S Matriks
W tidak dapat dijumlahkan dengan matriks S karena ordo yang dimiliki masing-masing matriks berbeda.
Contoh Soal 2.9
1. Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks ber-
ordo 2 × 2 dengan A =
1 9
2 7
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
B = 5
3 8
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ C =
8 1
3 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2. Hitunglah A + B dan B + A. Apakah
A + B = B + A?
3. Hitunglah A + B + C dan A + B + C. Apakah
A + B + C = A + B + C?
4. Hitunglah A – B dan B – A. Apakah
A – B = B – A? Analisis: dari hasil yang Anda peroleh pada langkah
2, 3 dan 4, tentukanlah kesimpulan yang dapat Anda ambil mengenai sifat-sifat penjumlahan dan
pengurangan matriks.
Lakukanlah kegiatan berikut bersama teman sebangku Anda.
Kegiatan 2.1
2.1
Dari Kegiatan 2.1, diperoleh sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.
Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka
berlaku sifat-sifat berikut: 1. A + B = B + A Komutatif
2. A + B + C = A + B + C Asosiatif 3. A – B
π B – A Anti Komutatif
Defi nisi Pengurangan Matriks Jika A dan B adalah 2 matriks yang berordo sama maka pengurangan
matriks A oleh B, ditulis A – B, adalah matriks baru yang diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-
elemen matriks B yang seletak.
Defi nisi Defi nisi
Matriks
43
Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 orang. Kemudian, buatlah dua contoh soal seperti pada Kegiatan 2.1 untuk matriks yang berordo selain 2 × 2 dan
selesaikanlah soal-soal tersebut.
3. Perkalian Bilangan Real dengan Sebuah Matriks
Dalam aljabar, perkalian terhadap suatu bilangan merupa kan penjumlahan ber ulang dari bilangan tersebut. Misalnya, perkalian berikut.
2a = a + a ka = a + a + ...+ a
Dalam matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
Misalkan H = 2
1 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
, tentukan 2H dan –2H. • 2H = H + H =
2 1
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ +
2 1
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 2 1
0 0 1 1
- 2
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
= 2 2 2
2 0 2 1
2 2 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 Jadi, matriks 2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan
matriks H dengan matriks H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian 2 dengan setiap elemen pada matriks H.
• –2H = –H + –H = –H – H =
– 2
1 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
– 2
1 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 1
1 -
+ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 1
1 -
= -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
+ 1 1
+ 0 0
+ 1
+ 2
- 1
- =
- -
- -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2 2
¥ 2 0
¥ 2 1
¥ 2
¥ 1
Jadi, matriks –2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks –H dengan matriks –H, atau dengan kata lain hasil dari
perkalian –2 dengan setiap elemen pada matriks H.
Berdasarkan uraian tersebut, Anda dapat memperoleh defi nisi berikut.
sebanyak k buah
Tugas Tugas 2.1
2.1
Perkalian sebuah skalar dengan sebuah matriks, tidak
menambah ordo dari matriks tersebut.
Catatan Catatan
Defi nisi Perkalian Bilangan Real dan Matriks Jika A sebarang matriks, dan k sebarang bilangan real maka kA adalah sebuah
matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian k dengan setiap elemen matriks A. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut
sebagai skalar.
Defi nisi Defi nisi
