Jenis-jenis Matriks Mahir Matematika Kelas 12 Geri Achmadi Dwi Gustanti Dani Wildan Hakim Wil 2008

Matriks 35 diagonal sekunder diagonal utama 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ , b Matriks Baris Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya 1 7 5 3 2 6 ÈÎÈÈ ˘˚˘˘ - ÈÎÈÈ ˘˚˘˘ , c Matriks Kolom Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya, 2 5 3 7 4 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ , d Matriks Persegi atau Matriks Kuadrat Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat, jika jumlah baris pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya. Misalnya, 2 3 4 1 3 7 5 6 3 1 1 8 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - - - 1 8 È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ , Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut. a a a a a a a a a a a 11 12 13 21 2 22 23 1 31 32 33 È È Î Î Í Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÎÎ ÍÍ ˘ ˘ ˚ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙ ˚˚ ˙˙ Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah a 11 , a 22 dan a 33 sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah. Sebaliknya, komponen- komponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini a 11 , a 22 , a 33 . e Matriks Segitiga Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen- elemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya salah satu, tidak kedua-duanya bernilai nol. Jika elemen-elemen yang ada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya, - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 5 1 - 2 4 3 4 7 5 1 4 2 3 -4 È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 36 f Matriks Diagonal Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen- elemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya, - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 1 0 4 4 0 0 2 0 0 1 , g Matriks Skalar Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya 9 0 0 9 5 0 0 0 5 0 0 0 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ , h Matriks Identitas atau Matriks Satuan Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya, 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ ,

1. Dengan menggunakan kata-kata sendiri, jelaskan

apa yang dimaksud dengan:

a. matriks, b. baris dan kolom pada sebuah matriks,

c. elemen dari sebuah matriks. 2. Diketahui matriks-matriks berikut.

S = È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ -4 0 1 2 2 dan T = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 , , 2 1 , , 3 0 -0 3 0 Tentukan:

a. banyaknya baris dan kolom pada matriks S

dan T,

b. elemen-elemen pada baris ke-2 matriks T, c. ordo matriks S dan T,

d. S

21 dan T 23

3. Berikan 2 contoh matriks dengan elemen bilangan

real, yang terdiri atas

a. 5 baris dan 3 kolom b. 1 baris dan 4 kolom

4. Untuk setiap sistem persamaan berikut, tulislah

matriks koefi sien variabelnya. a. x + 2y = 8 3x + y = 14

b. 4x = –6

2x – 3y = 9 c. x + y – z = 4 2x – 3y + 5z = 1 2y + 3z = 5 Diskusikan dengan teman sebangku Anda. 1. Apakah matriks persegi merupakan matriks diagonal? Berikan alasannya. 2. Apakah matriks diagonal merupakan matriks persegi? Berikan alasannya.

3. Jika X =

0 1 1 0 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , apakah matriks X merupakan matriks identitas? Berikan alasannya. Tugas Tugas 2.1 2.1 Tes Pemahaman Tes Pemahaman 2.1 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. Matriks 37

B. Transpos dan Kesamaan Dua Matriks

Pada Subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari matriks mulai dari defi nisi sampai jenis-jenisnya. Pada subbab ini akan dibahas transpos dari suatu matriks dan kesamaan dari dua matriks.

1. Transpos Suatu Matriks

Dalam mendapatkan informasi yang berbentuk tabel, kadang-kadang Anda mendapatkan dua tabel yang berbeda namun memiliki makna yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut. Sebuah lembaga kursus bahasa asing memiliki program kursus Bahasa Inggris, Bahasa Arab, dan Bahasa Mandarin. Pada lembaga tersebut, jumlah kelas kursus pada setiap program di setiap harinya tidak selalu sama. Banyaknya kelas di setiap program kursus dapat disajikan dalam dua tabel berbeda dengan makna sama berikut. Hari Program B. Inggris 6 4 4 2 B. Arab B. Mandarin 4 3 5 4 4 5 3 8 Senin Selasa Rabu Kamis

5. Diketahui matriks-matriks berikut.

A = 1 0 2 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ D = 4 3 5 0 - ÈÎÈÈ ˘˚˘˘ B = 4 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ E = - - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 4 1 8 2 1 - 2 6 6 C a b c = 6 2 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Manakah di antara matriks-matriks tersebut yang merupakan

a. matriks Persegi, b. matriks Skalar,

c. matriks Baris, d. matriks Diagonal.

Program Hari Senin 6 4 3 Selasa Rabu Kamis 4 4 2 5 4 3 4 5 8 B. Inggris B. Arab B. MAndarin Secara lebih sederhana, kedua tabel tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks berikut. Misalkan untuk tabel pertama dinamakan matriks A dan tabel kedua matriks B. Dengan demikian, bentuk matriks dari kedua tabel di atas adalah A = 6 4 4 2 4 5 4 3 3 4 5 8 È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ dan B = 6 4 3 4 5 4 4 4 5 2 3 8 È Î Í ÈÈ Í ÍÍ Í ÍÍ Í ÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙ ˙˙ ˙ ˚˚ ˙˙