Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
46
P × Q = R 2 × 2 2 × 1 = 2 × 1
ordo hasil sama
Jika matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, belum tentu
matriks B dapat dikalikan dengan matriks A
Catatan Catatan
Diketahui matriks-matriks berikut. P =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 0
2 1
Q = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 2 5
7 R =
2 5
1 4
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Tentukan: a. PQ
b. QR c. RP
Jawab: a. PQ =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 0 2
1 3 2
5 7
= +
+ +
3 -
3 -
2 ¥¥¥
¥ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2
1 7 +
= 3
2 1 11
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
b. QR =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 2 5
7 2
5 1
4 3
- =
+ +
4 3
- 1
- 5 2
¥ 2 7
22 4
5 5 7
5 3
1 7
¥ 7
¥ 5 ¥
¥ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 21
3 38
4 5
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
c. RP = Hasil kali matriks R dan matriks P tidak dapat dicari karena matriks
R tidak dapat dikalikan dengan matriks P banyak kolom matriks R tidak sama dengan banyak baris matriks P.
Contoh Soal 2.11
Defi nisi Perkalian Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan ditulis AB jika banyak kolom
pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Elemen-elemen pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris pada
matriks A dengan elemen kolom pada matriks B.
Defi nisi Defi nisi
Dari uraian tersebut, dapat Anda ketahui bahwa untuk mendapatkan besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut adalah dengan cara mengalikan
matriks P dan Q, sebagai berikut PQ =
2 5 1 000
2 500 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ .
. =
. .
. .
000 2 2
000 5 2
.000 .
000 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙˙ ˘˘˘˘
˚˚˚˚ =
8 000 16 500
. .
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks bisa dilakukan apabila banyaknya
kolom pengali matriks pertama yaitu P sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan matriks kedua yaitu Q.
Dari uraian diketahui bahwa ordo P
2 × 2
dan Q
2 × 1
dan hasil kalinya berordo 2 × 1.
Secara umum, jika matriks P berordo m × p dan matriks Q berordo p × n maka matriks hasil kali PQ berordo m × n.
Matriks
47
Diketahui matriks-matriks berikut. A =
2 5
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ , B =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3 2
1 1
, C = 4
1 7
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ Tentukan:
a. AB
c. ABC
b. BA
d. ABC
Jawab: a. AB =
2 5
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 2 1
1 =
5 3
1 - ¥
+ 1
5 -
2 2
¥ 2
+ 1
¥¥¥ ¥
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 +
1 =
- -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 11
1 3
2
b. BA =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3 2
1 1
2 5
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
+ +
¥ 1
¥ 2
5 - 555
1 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
4 15 3
5 -
c. ABC
BC = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 2 1
1 4
1 7
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
+ ¥
+ ¥ -
4 3
- 4
1 2
- ¥
1 2
+ 111
1 2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 2
7 11 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
ABC = 2
5 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 7
11 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
+ +
+ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 51 9
2 7
d. ABC =
- -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 11
1 3
2 4
1 7
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
- +
4 1
+ 1
- 1 2
¥ 4
--- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3
¥ 2 2
¥ 1
- +
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
51 9 2
7
Contoh Soal 2.12
Sifat-Sifat Perkalian Matriks 1. AB π BA Tidak komutatif
2. ABC = ABC Asosiatif 3. AB + C = AB + AC Distributif
4. A + BC = AC + BC Distributif 5. kAB = kAB = AkB Asosiatif
6. IA = AI = A Perkalian dengan Identitas 7. AB
t
= B
t
A
t
8. BA
t
= A
t
B
t
Dari Contoh Soal 2.12, diketahui beberapa sifat dari perkalian matriks selain sifat-sifat lainnya.
Pembahasan Soal Pembahasan Soal
Diketahui matriks A dan matriks B berordo 2 × 2.
Harga A + B
2
adalah ....
a. A
2
+ 2A·B + B
2
b. A
2
+ A·B + A·B + B
2
c. A·A + 2A·B + B·B d. AA + B + BA + B
e. A
2
+ 2B·A + B
2
Jawab:
A + B
2
= A + BA + B =
AA + B + BA + B =
A·A + B·B + B·A + B·B =
A
2
+ A·B + B·A + B
2
Oleh karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat
komutatif AB ≠ BA maka harga A + B
2
= AA + B + BA + B Jawaban:
d
Sumber: Sipenmaru, 1984
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
48
Pembahasan Soal Pembahasan Soal
Diketahui matriks-matris B =
2 1
4 3
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
dan D = 2x
y z
w -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Tentukan nilai-nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B
2
= 3D.
Jawab:
2B
2
= 3D 2 B × B = 3D
Contoh Soal 2.14
5. Perpangkatan Matriks Persegi
Di Kelas X Anda telah mengenal perpangkatan suatu bilangan ataupun perpangkatan suatu variabel. Perpangkatan adalah perkalian berulang dari
bilangan atau variabel tersebut sebanyak bilangan pangkatnya. Misalkan,
2
2
= 2 × 2 atau a
2
= a × a 2
3
= 2 × 2
2
a
3
= a × a
2
dan seterusnya. dan seterusnya.
Pada matriks pun berlaku aturan seperti itu.
Diketahui matriks A =
1 2
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
a. Tentukan A
2
dan A
3
b. Tentukan 2A
3
– 3A
2
Jawab: a. A
2
= A × A = 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
A
3
= A × A
2
= 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b. 2A
3
– 3A
2
= 2 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
– 3 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
2 4
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ –
3 0 0 3
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 4
5 -
Contoh Soal 2.13
Sebanyak n buah
Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefi nisikan sebagai berikut.
A
2
= A × A A
3
= A × A
2
= A × A × A A
n
= A × A
n – 1
= A × A × A ... × A
Jika A = 1 0
2 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan I
matriks satuan ordo dua maka A
2
– 2A + 1 = ....
a.
4 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
d.
4 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b.
0 0 3 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
e.
2 4
4 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c.
1 0 3 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Jawab:
A
2
= A · A =
1 0 2 3
1 0 2 3
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1 0
8 9 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ I matriks satuan ordo dua.
Berarti I = 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ A
2
– 2A + I =
1 0 8 9
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
–2 1 0
2 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ +
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1 0
8 9 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ –
2 0 4 6
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
+ 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
4 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Jawaban: d
Sumber: UMPTN, 1993
Cobalah Cobalah
Jika diketahui A
= Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ +
- -
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ 4
2 x
- 3
2 6
8 11
6 =
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ +
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ 2
3 1
2 4 3
1 1 tentukanlah nilai x.
Sumber: UMPTN, 1998
