Matriks
57
5. Di bawah ini merupakan matriks-matriks singular,
tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi.
a.
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 2
1 x
c.
3 2 8
6 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b.
2 5
4 2
y È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
6. Diketahui matriks-matriks berikut.
P = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 5 3
1 Q =
7 1
2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Tentukan:
a. PQ
–1
b. P
–1
Q
–1
E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Pada bagian ini, Anda akan mempelajari lebih lanjut tentang pe- nyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Namun sebelumnya,
pelajarilah terlebih dahulu bagai mana mencari matriks dari persamaan AX = B dan XA = B.
Misalkan A, B, dan X adalah matriks persegi berordo 2 × 2 dan A matriks
non singular. Persamaan AX = B dan XA = B dapat diselesaikan dengan
menggunakan konsep invers matriks yang Anda pelajari pada subbab D sebelumnya.
Dalam hal ini, konsep yang digunakan adalah A
–1
A = AA
–1
= I.
Kasus 1 untuk AX = B AX = B
A
–1
AX = A
–1
B
Kedua ruas dikalikan invers matriks A yaitu A
–1
dari kiri.
Oleh karena A
–1
A = I maka diperoleh IX = A
–1
B X = A
–1
B karena I X = X Jadi, jika
A X = B, maka X = A
–1
B
Kasus 2 untuk XA = B XA = B
XA A
–1
= B A
–1
Kedua ruas dikalikan invers matriks A yaitu A
–1
dari kanan.
Oleh karena A A
–1
= I maka diperoleh
XI = B A
–1
X = B A
–1
karena XI = X
Jadi, jika XA = B, maka X = B A
–1
Misalkan A =
6 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan
B = -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3 2
1 0 , tentukanlah matriks
X yang berordo 2 × 2
yang memenuhi persamaan
a. AX = B b. XA = B
Jawab:
A = 7 1
6 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ maka det
A = 7 1
6 1 = 7 1 – 6 1 = 1
A
–1
= 1
det A
1 1
6 7
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 1
1 1
6 7
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 1
6 7
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
Contoh Soal 2.23 Pembahasan Soal
Pembahasan Soal
Jika B
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 2
3 5 dan
AB
–1
= 2 1
4 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ , maka A = ....
a.
5 9
13 23 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
d.
13 5
2 10
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b.
5 3
9 13 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
e.
9 5
13 3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
c.
3 5
9 23 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
Jawab:
Misalkan C
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 2 1
4 3 maka
AB
–1
= C AB
–1
B = CB AI = CB karena B
–1
B = I A = CB
= 2 1
4 3 1 2
3 5 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
5 9
13 23 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ Jawaban:
a
Sumber: UMPTN, 1990
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
58
Catatan Catatan
Jika det A = 0 maka sistem persamaan linear AX = B
ataupun XA = B tidak memiliki penyelesaian
Sebelumnya Anda pasti telah mengenal beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, di
antaranya adalah metode grafi k, metode subtitusi, metode eliminasi, dan gabungan antara metode subtitusi eliminasi. Pada subbab ini akan dibahas
dua metode lagi untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Dua metode tersebut adalah
1. metode Invers Matriks, 2. metode Determinan.
1. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks
Untuk memahami penggunaan invers matriks dalam mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, pelajari uraian berikut.
Misalkan diketahui sistem persamaan linear berikut. 3
4 10
2 3
7 x
y 4
x y
3 =
4 y
4 =
3 y
3 ¸
˝ ¸¸
˛ ˝˝ ... 1
Sistem persamaan 1 akan diselesaikan dengan meng guna
kan invers matriks. Adapun langkah-langkah nya adalah sebagai berikut.
a. Nyatakan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks
sehingga diperoleh 3
4 2
3 10
7 x
y 4
x y
3 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
¤ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 4 2 3
10 7
x y
b. Tentukan matriks koefi sien serta nilai determinan
nya. Misalkan matriks koefi sien dari sistem 1 diberi nama
A, maka A
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3 4
2 3 dan det
A =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 4 2 3
= 9 – 8 =1 dan
misalkan X =
x y
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
, B =
10 7
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
c. Tentukan invers dari matriks koefi siennya. Invers dari matriks A adalah
A
–1
= 1
1 3
4 2
3 3
4 2
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
d. Gunakan konsep jika AX = B maka X = A
–1
B dan jika XA = B maka X = BA
–1
. Dalam hal ini, sistem 1 memenuhi persamaan AX = B
maka X = A
–1
B X =
x y
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3
4 -
2 3
10 7
2 1
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear pada sistem 1 adalah x = 2
dan y = 1.
a. AX = B ¤ X = A
–1
B X =
1 1
6 7
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3 2
1 0 =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
2 2
11 12
b. XA = B ¤ X = BA
–1
X = -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3 2
1 0 1
1 6
7 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 15 17
1 1