Invers Matriks Persegi Mahir Matematika Kelas 12 Geri Achmadi Dwi Gustanti Dani Wildan Hakim Wil 2008

Matriks 53 Diketahui matriks-matriks berikut. A = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 - 1 1 C = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 1 B = 1 2 1 1 -1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ D = 1 2 1 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Tentukan: a. Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A?

b. Apakah

matriks C merupakan invers dari matriks D? Jawab: a. Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan AB = I AB = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 - 1 1 1 2 1 1 - = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 + 2 2 + 1 1 - 2 1 - = 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = I Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A.

b. Matriks

C merupakan invers dari matriks D jika memenuhi persamaan CD = I CD = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 1 1 2 1 = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 4 - 0 2 + 0 2 - 0 1 + = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 2 2 1 π I Oleh karena CD π I maka matriks C bukan invers dari matriks D. Contoh Soal 2.18 Setelah Anda memahami defi nisi invers matriks, selanjut nya akan diperlihatkan kepada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 sebagai berikut. Misalkan A = a b c d È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan B = p q r s È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ . Jika B = A –1 , bagaimana hubungan antara elemen-elemen pada matriks A dan elemen-elemen pada matriks B? Untuk menjawabnya, Anda mulai dari B = A –1 , dengan demikian AB = I. a b c d p q r s È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ ap br aq bs cp dr aq ds + + br aq + + dr aq È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 0 0 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda peroleh ap + br = 1 ... 1 aq + bs = 0 ... 3 cp + dr = 0 ... 2 cq + ds = 1 ... 4 Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear 1 dengan 2 dan 3 dengan 4, diperoleh p = d ad bc - q = - - b ad

bc r =

- - c ad bc s = a ad bc - Dengan demikian, B = A –1 = p q r s È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = d ad bc b ad bc c ad bc a ad bc - - - - - - bc ad È Î Í ÈÈ Í ÍÍ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ = 1 d b d b c a - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 54 Tentukan invers dari matriks-matriks berikut, jika ada.

a. A =

2 5 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

b. B =

6 3 4 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Jawab: a. Periksa nilai determinan dari matriks A. det A = 11 2 5 1 = 111 – 52 = 1 Oleh karena det A ≠ 0 maka matriks A memiliki invers A –1 = 1 1 2 5 11 det A - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 1 2 5 11 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Contoh Soal 2.20 A –1 terdefi nisi jika det A π 0, artinya suatu matriks A mempunyai invers jika determinan matriks A tersebut tidak sama dengan nol Tentukan invers dari matriks-matriks berikut.

a. D =

7 11 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

b. W =

1 2 5 4 22 È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ Jawab: a. det D = 3 6 7 11 - = 311 – –7–6 = 33 – 42 = –9 D –1 = 1 11 6 7 3 det D È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 9 11 6 7 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - - - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 11 9 6 9 7 9 3 9 = - - - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 11 9 2 3 7 9 1 3

b. det

W = 1 2 5 4 22 = 1 2 4 5 22 5 - = 1 W –1 = 1 22 5 4 1 2 det W - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ = 1 1 22 5 4 1 2 - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ = 22 5 4 1 2 - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ Contoh Soal 2.19 Catatan Catatan Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2 Misalkan A = c d È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , invers dari A adalah A –1 , yaitu A –1 = 1 det A d b c a - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , dengan det A π Jadi, B = A –1 = 1 d b d b c a - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , dengan ad – bc π Oleh karena ad – bc = det A, maka A –1 = 1 det A d b c a - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Cobalah Cobalah Jika M –2 adalah invers matriks 1 5 1 4 2 3 -1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , tentukan M x y È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Matriks 55 • Matriks yang tidak memiliki invers determinannya nol disebut matriks singular. • Matriks yang memiliki invers determinannya tidak sama dengan nol disebut matriks nonsingular Catatan Catatan Untuk lebih memahami sifat-sifat invers matriks tersebut, pelajarilah contoh-contoh berikut. Diketahui matriks-matriks berikut. A = 1 0 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan B = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 3 5 Tentukan: a. A –1

f. BA b. B

–1

g. AB

–1

c. A

–1 · B –1

h. BA

–1

d. B

–1 · A –1 i. Apa kesimpulan yang diperoleh? e. AB Jawab: a. det A = 1 0 2 1 = 11 – 20 = 1 A –1 = 1 1 2 1 det A - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 1 2 1 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 2 1 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

b. det

B = - - 1 2 3 5 = –15 – –32 = 1 B –1 = 1 5 2 3 1 det B È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 5 2 3 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 5 2 3 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

c. A

–1 · B –1 = 1 2 1 5 2 3 1 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 5 0 2 0 10 3 4 1 - - + 10 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 5 2 7 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

d. B

–1 · A –1 = 5 2 3 1 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 5 4 0 2 3 2 0 1 4 0 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 9 2 5 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

e. AB =

1 0 2 1 1 2 3 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 0 + 2 0 + 2 3 - 4 5 + = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 5 9 Contoh Soal 2.21 Sifat-Sifat Invers suatu Matriks Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.

1. AB

–1 = B –1 · A –1

2. BA

–1 = A –1 · B –1

b. Periksa nilai determinan dari matriks B

det B = 6 3 4 2 = 62 – 43 = 0 Oleh karena det B = 0 maka matriks B tidak memiliki invers Pembahasan Soal Pembahasan Soal Jika invers A a a a = + È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 adalah A b - = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 1 0 1 maka konstanta b adalah ....

a. –4 d. –1 b. –2 e. 1

c. –1

Jawab: A a a a = + È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 A –1 = 1 1 det A a a 1 a 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 2 a a a 1 a 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 2 a a a a - 1 È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ Oleh karena A b - = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 1 0 1 maka 1 1 1 a a = ¤ 1 Dengan demikian, b a a = - = - = - 1 1 a - - 1 1 2 2 2 1 Jadi, nilai konstanta b adalah –2 Jawaban: b Sumber: SMPB, 2007 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 56

f. BA =

- - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 3 5 1 0 2 1 = - - + È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 4 + 0 2 + 3 1 + 0 0 5 = 3 2 7 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

g. det

AB = -