Matriks
53
Diketahui matriks-matriks berikut. A =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
2 -
1 1
C = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2 1
B = 1
2 1
1 -1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
D = 1
2 1 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Tentukan: a. Apakah
matriks B merupakan invers dari matriks A?
b. Apakah
matriks C merupakan invers dari matriks D?
Jawab: a. Matriks
B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan AB = I
AB = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2
- 1
1 1
2 1
1 -
= -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 2
+ 2 2
+ 1 1
- 2 1
- =
1 0 0 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= I Oleh
karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A.
b. Matriks
C merupakan invers dari matriks D jika memenuhi persamaan CD = I
CD = -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2 1
1 2 1
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 4 -
0 2 +
0 2 -
0 1 +
= -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 5 2
2 1 π
I Oleh
karena CD
π I maka matriks C bukan invers dari matriks D.
Contoh Soal 2.18
Setelah Anda memahami defi nisi invers matriks, selanjut nya akan
diperlihatkan kepada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 sebagai berikut.
Misalkan A = a
b c
d È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ dan B =
p q r
s È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ . Jika B = A
–1
, bagaimana hubungan antara
elemen-elemen pada matriks A dan elemen-elemen pada matriks B? Untuk menjawabnya, Anda mulai dari B = A
–1
, dengan demikian AB = I. a
b c
d p q
r s
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ ap br
aq bs cp dr
aq ds
+ +
br aq
+ +
dr aq
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1 0
0 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda peroleh
ap + br = 1 ... 1 aq + bs = 0 ... 3
cp + dr = 0 ... 2 cq + ds = 1 ... 4
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear 1 dengan 2 dan 3 dengan 4, diperoleh
p = d
ad bc
- q =
- -
b ad
bc r =
- -
c ad
bc s =
a ad
bc -
Dengan demikian, B = A
–1
= p q
r s
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= d
ad bc
b ad
bc c
ad bc
a ad
bc -
- -
- -
- bc
ad È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙ =
1 d
b d
b c
a -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
54
Tentukan invers dari matriks-matriks berikut, jika ada.
a. A =
2 5
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
b. B =
6 3 4 2
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Jawab: a. Periksa nilai determinan dari matriks A.
det A =
11 2 5
1 = 111 – 52 = 1
Oleh karena det A ≠ 0 maka matriks A memiliki invers A
–1
= 1
1 2
5 11 det
A -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1
1 1
2 5 11
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
Contoh Soal 2.20
A
–1
terdefi nisi jika det A
π
0, artinya suatu matriks A mempunyai invers
jika determinan matriks A tersebut tidak sama dengan nol
Tentukan invers dari matriks-matriks berikut.
a. D =
7 11 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
b. W =
1 2
5 4
22 È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙
Jawab: a. det
D = 3
6 7 11
- = 311 – –7–6 = 33 – 42 = –9
D
–1
= 1
11 6 7
3 det
D È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 9
11 6 7
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
- -
- È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙ 11
9 6
9 7
9 3
9
= -
- -
- È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙ 11
9 2
3 7
9 1
3
b. det
W = 1
2 5
4 22
= 1
2 4 5
22 5
- = 1
W
–1
= 1
22 5
4 1
2 det
W -
- È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙ =
1 1
22 5
4 1
2 -
- È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙ =
22 5
4 1
2 -
- È
Î Í
ÈÈ Í
ÍÍ ÍÎÎ
ÍÍ ˘
˚ ˙
˘˘ ˙
˙˙ ˙˚˚
˙˙
Contoh Soal 2.19 Catatan
Catatan
Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2
Misalkan A =
c d
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
, invers dari A adalah A
–1
, yaitu A
–1
= 1
det A
d b
c a
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ , dengan det
A
π
Jadi, B = A
–1
= 1
d b
d b
c a
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ , dengan
ad – bc
π
Oleh karena ad – bc = det A, maka A
–1
= 1
det A
d b
c a
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
Cobalah Cobalah
Jika M
–2
adalah invers matriks
1 5
1 4
2 3
-1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ ,
tentukan M
x y
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Matriks
55
• Matriks yang tidak memiliki invers determinannya nol
disebut matriks singular. • Matriks yang memiliki
invers determinannya tidak sama dengan nol disebut
matriks nonsingular
Catatan Catatan
Untuk lebih memahami sifat-sifat invers matriks tersebut, pelajarilah contoh-contoh berikut.
Diketahui matriks-matriks berikut. A =
1 0 2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
dan B =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2 3 5
Tentukan: a. A
–1
f. BA b. B
–1
g. AB
–1
c. A
–1
· B
–1
h. BA
–1
d. B
–1
· A
–1
i. Apa kesimpulan yang diperoleh? e. AB
Jawab: a. det
A = 1 0
2 1 = 11 – 20 = 1
A
–1
= 1
1 2 1
det A
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 1
1 2 1
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 2 1
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
b. det
B = -
- 1 2
3 5 = –15 – –32 = 1
B
–1
= 1
5 2
3 1
det B
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1
1 5
2 3
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
5 2
3 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
c. A
–1
· B
–1
= 1
2 1 5
2 3
1 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 5 0
2 0 10 3
4 1 -
- + 10
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
5 2
7 3
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
d. B
–1
· A
–1
= 5
2 3
1 1
2 1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ - È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
5 4 0 2 3 2
0 1 4 0
2 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
9 2
5 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
e. AB =
1 0 2 1
1 2 3 5
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1 0
+ 2 0
+ 2 3
- 4 5
+ =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2 5 9
Contoh Soal 2.21
Sifat-Sifat Invers suatu Matriks Misalkan
A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan
BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.
1. AB
–1
= B
–1
· A
–1
2. BA
–1
= A
–1
· B
–1
b. Periksa nilai determinan dari matriks B
det B =
6 3 4 2
= 62 – 43 = 0 Oleh karena det
B = 0 maka matriks B tidak memiliki invers
Pembahasan Soal Pembahasan Soal
Jika invers A
a a
a =
+ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
adalah A
b
-
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
1
1 0 1
maka konstanta b adalah ....
a. –4 d. –1 b. –2 e. 1
c. –1
Jawab:
A a
a a
= +
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 A
–1
= 1
1 det A
a a
1 a
1 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 1
2
a a
a 1
a 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 1
1
2
a a
a a
- 1
È Î
Í ÈÈ
Í ÍÍ
ÍÎÎ ÍÍ
˘ ˚
˙ ˘˘
˙ ˙˙
˙˚˚ ˙˙
Oleh karena A
b
-
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
1
1 0 1
maka 1
1 1
a a
= ¤ 1
Dengan demikian, b
a a
= -
= -
= - 1
1 a
- -
1 1
2
2 2
1 Jadi, nilai konstanta b adalah –2
Jawaban: b
Sumber: SMPB, 2007
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
56
f. BA =
- -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2 3 5
1 0 2 1
= -
- +
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 4 +
0 2 +
3 1 + 0 0 5
= 3 2
7 5 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
g. det
AB = -