A + B + C = A + B + C Asosiatif 3. A – B

Matriks 43 Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 orang. Kemudian, buatlah dua contoh soal seperti pada Kegiatan 2.1 untuk matriks yang berordo selain 2 × 2 dan selesaikanlah soal-soal tersebut.

3. Perkalian Bilangan Real dengan Sebuah Matriks

Dalam aljabar, perkalian terhadap suatu bilangan merupa kan penjumlahan ber ulang dari bilangan tersebut. Misalnya, perkalian berikut. 2a = a + a ka = a + a + ...+ a Dalam matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan H = 2 1 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , tentukan 2H dan –2H. • 2H = H + H = 2 1 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ + 2 1 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 2 2 1 0 0 1 1 - 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 = 2 2 2 2 0 2 1 2 2 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 Jadi, matriks 2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks H dengan matriks H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian 2 dengan setiap elemen pada matriks H. • –2H = –H + –H = –H – H = – 2 1 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ – 2 1 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 1 1 - + - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 1 1 - = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 + 1 1 + 0 0 + 1 + 2 - 1 - = - - - - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 2 ¥ 2 0 ¥ 2 1 ¥ 2 ¥ 1 Jadi, matriks –2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks –H dengan matriks –H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian –2 dengan setiap elemen pada matriks H. Berdasarkan uraian tersebut, Anda dapat memperoleh defi nisi berikut. sebanyak k buah Tugas Tugas 2.1 2.1 Perkalian sebuah skalar dengan sebuah matriks, tidak menambah ordo dari matriks tersebut. Catatan Catatan Defi nisi Perkalian Bilangan Real dan Matriks Jika A sebarang matriks, dan k sebarang bilangan real maka kA adalah sebuah matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian k dengan setiap elemen matriks A. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Defi nisi Defi nisi Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 44 Diketahui matriks-matriks berikut. A = 4 5 10 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ B = 2 11 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Tentukan:

a. 3A dan 5A c. 23B

b. 2A + B d. –1A Jawab: a. 3A = 3 4 5 10 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 3 4 3 3 10 3 2 4 3 ¥ 10 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 = 12 15 30 6 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5A = 5 4 5 10 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 5 4 5 5 10 5 2 4 5 ¥ 10 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 = 20 25 50 10 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ b. 2A + B = 2 4 5 10 2 2 11 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ + È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Ê Ë Á ÊÊ ËË ˆ ¯ ˜ ˆˆ ¯¯ = 2 6 5 21 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 2 6 2 2 21 2 5 6 2 ¥ 21 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 = 12 10 42 10 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

c. 23B =

2 3 2 11 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Ê ËËË ˆ ¯ ˜ ˆˆ ¯¯ = 2 3 2 3 0 3 11 3 3 2 3 ¥ 11 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 2 6 33 9 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 2 6 2 0 2 33 2 9 6 2 ¥ 33 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 12 66 18 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

d. –1A =

- È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 4 5 - 10 2 = – – – 4 – 1 10 1 2 ¥ 10 1 – È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = – – 4 5 10 2 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Contoh Soal 2.10 Misalkan, D = –5 4 7 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , H = 1 3 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan skalar- skalar a dan b dengan a = 2 dan b = –1

1. Hitunglah

aD + aH dan aD + H. Apakah aD + aH = aD + H? Lakukan kegiatan berikut bersama teman sebangku Anda. 2. Hitunglah aD + bD dan a + bD. Apakah aD + bD = a + bD?

3. Hitunglah

abD dan abD Apakah abD = abD? Analisis: Dari hasil yang Anda peroleh pada langkah 2, 3, dan 4, tentukan kesimpulan yang dapat Anda ambil mengenai sifat-sifat perkalian skalar. Kegiatan 2.2 2.2 Dari Kegiatan 2.2, apakah kesimpulan yang Anda peroleh tentang sifat- sifat perkalian skalar sama seperti yang tertera berikut?