Matriks
59
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode invers matriks
5 x – 3y = 3
4 x – 2y = 4
Jawab:
Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan menggunakan metode invers matriks, terapkanlah langkah-langkah
yang telah dibahas sebelumnya. Langkah 1:
5 3
4 2
3 4
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ x
y , misal
A =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
5 3
- 4
2 -
, B
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3
4 , dan
X x
y =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
Langkah 2:
A =
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
5 3
- 4
2 -
, maka det A
= È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 5
3 -
4 2
- = –10 – –12 = 2
Langkah 3:
A
–1
= 1
2 2 3
4 5 -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚
Langkah 4:
X = 1
2 2 3
4 5 3
4 -
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 2
6 8
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
x y
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 3
4 È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ x = 3 dan y = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 4}.
Contoh Soal 2.24
Imas dan Dewi pergi belanja ke pasar. Imas membeli 3 kg kentang dan 2 kg wortel, untuk itu Imas harus membayar Rp13.500,00. Adapun Dewi
membeli 2 kg kentang dan 1 kg wortel. Dewi diharuskan membayar Rp8.500,00. Misalkan harga 1 kg kentang adalah
a rupiah dan harga 1 kg wortel
b rupiah.
a. Buatlah model matematika dari masalah tersebut dalam bentuk sistem
persamaan linear dua variabel dalam variabel a dan b.
b. Tentukan penyelesaian dari model matematika pada soal a dengan
menggunakan metode invers matriks.
c. Berdasarkan jawaban pada soal b jika Rani membeli 4 kg kentang dan
5 kg wortel, berapakah besarnya uang yang harus dibayar oleh Rani?
Jawab: a. Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel berikut.
Misalkan harga 1 kg kentang = a rupiah
Dan misalkan pula harga 1 kg wortel = b rupiah
Contoh Soal 2.25
Imas 3
2 13.500
Dewi 2
1 8.500
Kentang Wortel Harga yang Dibayar
Perhatikan SPL berikut. a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
Jika D = a
1
b
2
– a
2
b
1
≠ 0, gunakan matriks untuk
menunjukkan bahwa penyelesaiannya adalah
x D
= c b
c b -
c b 1
b b
y D
= a c
a c -
a c 1
c c
Tunjukkan pula SPL tidak punya penyelesaian jika a
1
c
2
≠ a
2
c
1
, dan punya banyak penyelesaian
jika a
1
c
2
= b
1
c
2
dan b
1
c
2
= b
2
c
1
Sumber: Ebtanas, 1998
Cobalah Cobalah
Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
60
2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan
Selain digunakan dalam mencari nilai invers dari suatu matriks, determinan dapat pula digunakan dalam mencari penyelesaian sistem persamaan linear.
Perhatikan sistem persamaan linear berikut.
a x b y c
a x b y c
1 1
x bb
1 2
2
x bb
2
+ =
b y bb
+ =
b y b
¸ ˝
¸¸ ˝˝
¸¸¸¸ ˛
˝˝ ˛˛
˝˝˝˝ Sistem persamaan linear tersebut, jika diselesaikan akan diperoleh nilai-
nilai x dan y sebagai berikut:
x = c b
c b a b
a b
1 2
b
2 1
bb
1 2
b
2 1
bb -
-
y = a c
a c a b
a b
1 2
c
2 1
c
1 2
b
2 1
bb -
- Bentuk-bentuk
c
1
b
2
– c
2
b
1
, a
1
b
2
– a
2
b
1
, dan a
1
c
2
– a
2
c
1
jika dinyatakan dalam bentuk determinan adalah sebagai berikut:
• c
1
b
2
– c
2
b
1
= c
b c
b
1 1
bb
2 2
b
Sistem persamaan linear dari model tersebut adalah 3
2 13 500
2 8 500
1 a
b 2
b =
b 2
¸ ˝
¸¸ ˛
˝˝ .
. ...
b. Penyelesaian dari sistem persamaan linear 1 dengan menggunakan
metode invers matriks adalah sebagai berikut. Bentuk matriks dari sistem persamaan linear 1 adalah
3 2 2 1
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
a b
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= 13 500
8 500 .
. È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ A X B
det A =
3 2 2 1
= 3 – 4 = –1 A
–1
= 1
det A
1 2
2 3
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ =
1 1
- 1
2 2
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= –1 1
2 2
3 -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
1 2
2 3
- X = A
–1
B X =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 1
2 2
3 -
13 500 8 500
. .
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
= -
+ -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
13 500 17 000 27 000 25 500
. +
.500 17 .
. 000 25
= 2 500
1 500 .
. È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ Oleh
karena X =
a b
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
maka a = 2.500
b = 1.500
c. Besarnya uang yang harus dibayar Rani =
4 a + 5b
= 4 2.500 + 5 1.500 = 10.000 + 7.500 = 17.500
Jadi, besarnya uang yang harus dibayar Rani adalah Rp17.500,00.
Diketahui sistem persamaan berikut.
3 2
3 2
4 3
2 3
4 x
y 2
z x
y 2
x y
2 z
- 2 y
2 =
- + x
= 4z
- 2
= Ï
Ì Ô
ÏÏ ÌÌ
Ó Ô
ÌÌ ÓÓ
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut
dengan aturan cramer
Sumber:
Ebtanas, 1995
Cobalah Cobalah
Matriks
61
• a
1
b
2
– a
2
b
1
= a
c a
c
1 1
c
2 2
c • a
1
c
2
– a
2
c
1
= a
c a
c
1 1
c
2 2
c Dengan
demikian, nilai x dan nilai y jika dinyatakan dalam bentuk determinan adalah sebagai berikut
x =
c b
c b
a b
a b
1 1
bb
2 2
b
1 1
bb
2 2
b dan y =
a c
a c
a b
a b
1 1
c
2 2
c
1 1
bb
2 2
b atau
x =
D D
x
dan y = D
D
y
dengan: • D = a
b
1 1
2 2
, yaitu determinan dari matriks koefi sien x dan y • D
x
= c
b c
b
1 1
bb
2 2
b , yaitu determinan dari matriks koefi sien x dan y yang
kolom pertamanya diganti oleh konstanta c
1
dan c
2
• D
y
= a
c a
c
1 1
c
2 2
c ,
yaitu determinan dari matriks koefi sien x dan y yang kolom keduanya diganti oleh konstanta c
1
dan c
2
. t
u k
i r
e b
i a
g a
b e
s n
a l
u p
m i
s e
k l
i b
m a
i d
t a
p a
d ,
t u
b e
sr e
t n
a i
a r
u n
a k
r a
s a
d r
e B
M etode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel cara terse-
but dikenal sebagi metode Cramer. M
isalkan diberikan sistem persamaan linear dua variabel a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
Peny elesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah
x =
a b
D D
x
dan y =
D D
y
, dengan D ≠ 0
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
metode determinan, tidak akan didapat penyelesaiannya
jika nilai determinannya sama dengan nol.
Catatan Catatan
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear variabel berikut dengan menggunakan metode determinan
3 x – y = –2
–2 x + 5y = –12
Jawab:
Misalkan, A matriks koefi sien dari sistem persamaan linear tersebut
A =
- È
Î Í
ÈÈ ÎÎ
˘ ˚
˙ ˘˘
˚˚ 3
1 -
2 5
D = det A
= -
È Î
Í ÈÈ
ÎÎ ˘
˚ ˙
˘˘ ˚˚
3 1
- 2
5 = 15 – 2 = 13
Contoh Soal 2.26
