Mahir Matematika
untuk Kelas XII Program Bahasa
14
• Keuntungan yang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut.
z = fx, y = 1.500x + 1.250y •
Banyaknya buah semangka dan melon yang dapat ditampung di tempat pedagang tersebut memenuhi pertidaksamaan berikut.
x + y ≤ 60 •
Banyaknya buah semangka dan melon yang dapat dibeli oleh pedagang memenuhi pertidaksamaan berikut.
2.500x + 2.000y ≤ 140.000 • Oleh
karena x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya buah
semangka dan melon maka x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah
fungsi tujuan z = fx, y = 1.500x + 1.250y dengan fungsi kendala
x + y ≤ 60 2.500x + 2.000y ≤ 140.000
x ≥ 0 y ≥ 0
2. Masalah Program Linear
Program linear akan sangat berguna bagi Anda ketika dihadapkan pada beberapa pilihan dengan kendala-kendala tertentu, yang menuntut
Anda untuk mengambil keputusan yang optimum maksimum atau minimum. Oleh karena itu, permasalahan dalam program linear selalu
berhubungan dengan pengoptimalisasian fungsi tujuan berdasarkan kendala yang membatasinya.
Suatu program linear dua variabel x dan y memiliki satu fungsi tujuan yang dioptimumkan. Bentuk umum dari fungsi tujuan tersebut adalah
sebagai berikut. z = fx, y = ax + by dengan a, b bilangan real, a ≠ 0 dan b ≠ 0
Pada Contoh Soal 1.9 ,
fungsi tujuan yang ingin dimaksimumkan adalah z = fx, y = 1.500x + 1.250y, dan fungsi kendalanya adalah
x + y ≤ 60 2.500x + 2.000y ≤ 140.000
x ≥ 0 y ≥ 0
Tujuan dari permasalahan tersebut adalah menentukan banyaknya buah semangka dan melon yang harus dibelidisediakan agar diperoleh
keuntungan maksimum. Dalam memaksimumkan suatu fungsi tujuan z = ax + by, Anda perlu
menentukan titik-titik x, y yang menghasilkan nilai z terbesar. Titik x, y yang menghasilkan nilai z terbesar harus memenuhi setiap pertidaksamaan
linear pada fungsi kendala yang diberikan. Hampir sama dengan hal itu, dalam meminimumkan suatu fungsi, Anda perlu menentukan titik-titik
x, y. Namun dalam meminimumkan fungsi tujuan, dicari titik x, y yang menghasilkan nilai z terkecil.
Berdasarkan uraian tersebut, diketahui bahwa model matematika yang diperoleh pada Contoh Soal 1.9 merupakan contoh permasalahan dalam
upaya memaksimumkan fungsi tujuan. Dengan demikian, masalah program linearnya sebagai berikut. fungsi
tujuan z = fx, y = 1.500x + 1.250y dengan kendalanya adalah
Cobalah Cobalah
Sepuluh tahun yang lalu, umur A dua kali umur B. lima tahun
kemudian umur A menjadi 1
1 2
kali umur B. Berapa tahun umur A sekarang?
Program Linear
15
Pembahasan Soal Pembahasan Soal
x + y ≤ 60 2.500x + 2.000y ≤ 140.000
x ≥ 0 y ≥ 0
Dengan menggunakan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel, diperoleh daerah penyelesaian seperti pada gambar berikut.
y
x x + y = 60
60 B56, 0
A0, 60 70
C
2.500x + 2.000y = 140.000
Selanjutnya, cari koordinat titik C yang merupakan perpotongan antara garis x + y = 60 dan 2.500x + 2.000y = 140.000.
Gunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi x + y = 60
˙ × 2.000 ˙ 2.000x + 2.000y = 120.000 2.500x + 2.000y = 14.000 ˙ × 1˙
2.500x + 2.000y = 140.000 –500x
= –20.000 x = 40
Substitusikan nilai x = 40 ke persamaan x + y = 60 diperoleh 40
+ y = 60
y = 60 – 40 y = 20
Jadi, koordinat titik C adalah 40, 20. Dari permasalahan ini diketahui koordinat titik sudut daerah penyelesaian
dari sistem tersebut adalah A0, 60, B56, 0, C40, 20 dan O0, 0. Oleh karena tujuan dari permasalahan ini adalah ingin memaksimumkan nilai z
maka tentukan dari keempat titik tersebut yang membuat nilai z maksimum, dengan cara menyubstitusikannya ke fungsi z = fx, y = 1.500x + 1.250y.
• Untuk
A 0, 60 maka z = 1.5000 + 1.25060
= 75.000 • Untuk
B 56, 0 maka z = 1.50056 + 1.2500
= 84.000
• Untuk C 40, 20 maka
z = 1.50040 + 1.25020 =
85.000 • Untuk
O 0, 0 maka z = 1.5000 + 1.2500
= Fungsi z maksimum di titik C 40, 20 dengan z = 85.000.
–
Jika segilima OPQRS merupakan himpunan penyelesaian
program linear maka nilai maksimum fungsi tujuan
x + 3y terletak di titik .... a. O
d. R b. P
e. S c. Q
Jawab:
Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan x + 3y adalah 17 yang
terletak pada titik R. Jawaban:
d
Sumber: Proyek Perintis, 1981
Titik Sudut x, y
O0, 0 P6, 0
Q5, 3 R2, 5
S0, 3 6 + 30 = 6
5 + 33 = 14 2 + 35 = 17
0 + 33 = 9
fx, y = x + 3y
P6, 0 Q5, 3
R2, 5 S0, 3
Gambar 1.8
Grafi k himpunan penyelesaian program linear
x + y ≤ 60 2.500x + 2.000y ≤ 140.000
x ≥ 0 y ≥ 0
