AX = B b. XA = B

Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 58 Catatan Catatan Jika det A = 0 maka sistem persamaan linear AX = B ataupun XA = B tidak memiliki penyelesaian Sebelumnya Anda pasti telah mengenal beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, di antaranya adalah metode grafi k, metode subtitusi, metode eliminasi, dan gabungan antara metode subtitusi eliminasi. Pada subbab ini akan dibahas dua metode lagi untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Dua metode tersebut adalah

1. metode Invers Matriks, 2. metode Determinan.

1. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks

Untuk memahami penggunaan invers matriks dalam mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, pelajari uraian berikut. Misalkan diketahui sistem persamaan linear berikut. 3 4 10 2 3 7 x y 4 x y 3 = 4 y 4 = 3 y 3 ¸ ˝ ¸¸ ˛ ˝˝ ... 1 Sistem persamaan 1 akan diselesaikan dengan meng guna kan invers matriks. Adapun langkah-langkah nya adalah sebagai berikut.

a. Nyatakan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks

sehingga diperoleh 3 4 2 3 10 7 x y 4 x y 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ ¤ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 4 2 3 10 7 x y

b. Tentukan matriks koefi sien serta nilai determinan

nya. Misalkan matriks koefi sien dari sistem 1 diberi nama A, maka A = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 4 2 3 dan det A = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 4 2 3 = 9 – 8 =1 dan misalkan X = x y È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , B = 10 7 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

c. Tentukan invers dari matriks koefi siennya. Invers dari matriks A adalah

A –1 = 1 1 3 4 2 3 3 4 2 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

d. Gunakan konsep jika AX = B maka X = A

–1 B dan jika XA = B maka X = BA –1 . Dalam hal ini, sistem 1 memenuhi persamaan AX = B maka X = A –1 B X = x y È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 4 - 2 3 10 7 2 1 Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear pada sistem 1 adalah x = 2 dan y = 1.

a. AX = B ¤ X = A

–1 B X = 1 1 6 7 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 2 1 0 = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 2 11 12

b. XA = B ¤ X = BA

–1 X = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 2 1 0 1 1 6 7 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 15 17 1 1 Matriks 59 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode invers matriks 5 x – 3y = 3 4 x – 2y = 4 Jawab: Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan menggunakan metode invers matriks, terapkanlah langkah-langkah yang telah dibahas sebelumnya. Langkah 1: 5 3 4 2 3 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ x y , misal A = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 3 - 4 2 - , B = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 4 , dan X x y = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Langkah 2: A = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 3 - 4 2 - , maka det A = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 3 - 4 2 - = –10 – –12 = 2 Langkah 3: A –1 = 1 2 2 3 4 5 - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Langkah 4: X = 1 2 2 3 4 5 3 4 - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 2 6 8 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ x y È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 3 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ x = 3 dan y = 4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 4}. Contoh Soal 2.24 Imas dan Dewi pergi belanja ke pasar. Imas membeli 3 kg kentang dan 2 kg wortel, untuk itu Imas harus membayar Rp13.500,00. Adapun Dewi membeli 2 kg kentang dan 1 kg wortel. Dewi diharuskan membayar Rp8.500,00. Misalkan harga 1 kg kentang adalah a rupiah dan harga 1 kg wortel b rupiah.

a. Buatlah model matematika dari masalah tersebut dalam bentuk sistem

persamaan linear dua variabel dalam variabel a dan b.

b. Tentukan penyelesaian dari model matematika pada soal a dengan

menggunakan metode invers matriks.

c. Berdasarkan jawaban pada soal b jika Rani membeli 4 kg kentang dan

5 kg wortel, berapakah besarnya uang yang harus dibayar oleh Rani? Jawab: a. Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel berikut. Misalkan harga 1 kg kentang = a rupiah Dan misalkan pula harga 1 kg wortel = b rupiah Contoh Soal 2.25 Imas 3 2 13.500 Dewi 2 1 8.500 Kentang Wortel Harga yang Dibayar Perhatikan SPL berikut. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Jika D = a 1 b 2 – a 2 b 1 ≠ 0, gunakan matriks untuk menunjukkan bahwa penyelesaiannya adalah x D = c b c b - c b 1 b b y D = a c a c - a c 1 c c Tunjukkan pula SPL tidak punya penyelesaian jika a 1 c 2 ≠ a 2 c 1 , dan punya banyak penyelesaian jika a 1 c 2 = b 1 c 2 dan b 1 c 2 = b 2 c 1 Sumber: Ebtanas, 1998 Cobalah Cobalah