AB BA Mahir Matematika Kelas 12 Geri Achmadi Dwi Gustanti Dani Wildan Hakim Wil 2008

Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa 56

f. BA =

- - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 3 5 1 0 2 1 = - - + È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 4 + 0 2 + 3 1 + 0 0 5 = 3 2 7 5 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

g. det

AB = - - 1 2 5 9 = –19 – –52 = 1 AB –1 = 1 9 2 5 1 det AB È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 9 2 5 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 9 2 5 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ h. det BA = 3 2 7 5 = 3 5 – 7 2 = 1 BA –1 = 1 det BA 5 2 7 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 5 2 7 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 5 2 7 3 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

i. Berdasarkan hasil dari poin a sampai h, kesimpulan yang didapat

adalah

1. AB

–1 = B –1 · A –1

2. BA

–1 = A –1 · B –1

3. AB

–1 ≠ BA –1 Jika A = 2 5 2 4 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ , tentukan nilai x agar matriks A merupakan matriks singular. Jawab: Syarat agar A singular adalah det A = 0.det A = 2 4 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 2 x4 – –2 5 = 8 x + 10 = 0 8 x + 10 = 0 8 x = –10 x = -10 8 = – 5 4 Jadi, nilai x yang memenuhi agar matriks A singular adalah – 5 4 . Contoh Soal 2.22

1. Dengan menggunakan kata-kata sendiri, jelaskan

apa yang dimaksud dengan:

a. determinan suatu matriks, b. dua matriks yang saling invers.

2. Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks

berikut. a. - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 5 7 9 4 - c. - - - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 5 3 2 4 1 1 2 3 b. - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 11 1 2 4

3. Tentukan apakah matriks-matriks berikut memiliki

invers. Jika ya, tentukan inversnya. a. 1 0 2 3 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ c. - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 1 - 6 2 b. 1 2 1 4 2 - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ d. 10 5 4 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

4. Diketahui

P = 5 3 2 7 x - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan Q = 4 8 5 2 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Jika det P = det Q, tentukan nilai x. Pembahasan Soal Pembahasan Soal Diketahui = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 3 4 dan B AB = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - 6 5 - 5 4 1 . .... Nilai dari Jawab: AB = 1 2 3 4 6 5 5 4 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ -6 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 4 3 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ AB –1 = 1 1 3 2 4 det - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 4 6 1 3 2 4 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 1 3 - 2 4 = - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 1 2 1 1 2 1 2 - Jadi, AB –1 = - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 1 2 1 1 2 1 2 - Jawaban: e - È Î Í ÈÈ Í ÍÍ ÍÎÎ ÍÍ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˙ ˙˙ ˙˚˚ ˙˙ 1 2 1 1 2 1 2 - Sumber: UMPTN, 1995 Tes Pemahaman Tes Pemahaman 2.4 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. Matriks 57

5. Di bawah ini merupakan matriks-matriks singular,

tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi. a. - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 2 1 x c. 3 2 8 6 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ b. 2 5 4 2 y È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚

6. Diketahui matriks-matriks berikut.

P = - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 2 5 3 1 Q = 7 1 2 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Tentukan:

a. PQ

–1

b. P

–1 Q –1

E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Pada bagian ini, Anda akan mempelajari lebih lanjut tentang pe- nyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Namun sebelumnya, pelajarilah terlebih dahulu bagai mana mencari matriks dari persamaan AX = B dan XA = B. Misalkan A, B, dan X adalah matriks persegi berordo 2 × 2 dan A matriks non singular. Persamaan AX = B dan XA = B dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep invers matriks yang Anda pelajari pada subbab D sebelumnya. Dalam hal ini, konsep yang digunakan adalah A –1 A = AA –1 = I. Kasus 1 untuk AX = B AX = B A –1 AX = A –1 B Kedua ruas dikalikan invers matriks A yaitu A –1 dari kiri. Oleh karena A –1 A = I maka diperoleh IX = A –1 B X = A –1 B karena I X = X Jadi, jika A X = B, maka X = A –1 B Kasus 2 untuk XA = B XA = B XA A –1 = B A –1 Kedua ruas dikalikan invers matriks A yaitu A –1 dari kanan. Oleh karena A A –1 = I maka diperoleh XI = B A –1 X = B A –1 karena XI = X Jadi, jika XA = B, maka X = B A –1 Misalkan A = 6 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ dan B = - - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 3 2 1 0 , tentukanlah matriks X yang berordo 2 × 2 yang memenuhi persamaan

a. AX = B b. XA = B

Jawab: A = 7 1 6 1 È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ maka det A = 7 1 6 1 = 7 1 – 6 1 = 1 A –1 = 1 det A 1 1 6 7 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 1 1 6 7 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ = 1 1 6 7 - È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ Contoh Soal 2.23 Pembahasan Soal Pembahasan Soal Jika B = È Î Í ÈÈ ÎÎ ˘ ˚ ˙ ˘˘ ˚˚ 1 2 3 5 dan AB