Bab 1 Integral
27
Misalkan
R
daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi
f x
, sumbu-
x
, garis
x a
, garis
x b
, dengan
a b
, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah
R
mengelilingi sumbu-
x
adalah
2
b a
V f x
dx
S
³
E. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan
S
daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi
x f
y
, sumbu-
y
, garis
x a
, garis
x b
, dengan
a b
, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah
S
mengelilingi sumbu-
y
adalah
V. V
S
³
2 b
a
f y dy
b a
R y
fx y
x
y
x a
b y
fx
O
Gambar 1.8
Volume benda putar yang mengelilingi sumbu-x
Tentukanlah v o lume bend a p utar, jika d aerah y ang d ibatasi o leh g rafik
f x
4
x
2
, sumbu-
x
, dan sumbu-
y
diputar 360° terhadap:
a.
sumbu-
x
b. sumbu-
y
Jawab: a.
Volumenya adalah:
V
2 2 2
4 x
dx
S
³
2 2
4
16 8 x
x dx
S
³
2 3
5
8 1
16 3
5 x
x x
S
ª º
« »
¬ ¼
S
§ ·
§ ·
¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹
3 5
8 1
16 2
2 2
3 5
64 32
32 3
5
S § ·
¨ ¸
© ¹
256 15
S Jadi, vo lume benda putar yang terjadi jika daerah
R
diputar mengelilingi sumbu-
x
adalah
256 15
S satuan volume.
b.
Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah
R
diputar mengelilingi sumbu-
y
, kalian harus nyatakan persamaan kurva
y f
x
4
x
2
menjadi persamaan
x
2
dalam variabel
y
.
y
4
x
2
x
2
4
y
Volume benda putar tersebut adalah
Contoh
O
Gambar 1.9
Volume benda putar yang mengelilingi sumbu-y
x y
f x = 4
x
2
2 O
2 1
R 1
28
28
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam V
4
4 y dy
S
³
S
ª º
« »
¬ ¼
4 2
1 4
2 y
y
S
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
2
1 4
4 4
2
S
16 8
8
S
Jadi, vo lume benda putar yang terjadi jika daerah
R
diputar mengelilingi sumbu-
y
adalah 8
S
satuan volume.
E. 3. M enentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva
f
x dan gx jika Diputar M engelilingi Sumbu-x
Daerah yang dibatasi oleh kurva
f x
dan
g x
dengan
f x g x
t pad a interval [
a, b
] d iputar mengelilingi sumbu-
x
seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah
sebagai berikut.
V T
S
³
2 2
b a
f x g x
dx
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik
f x
x
2, sumbu-
y
, garis
x
2, dan
y
1 diputar 360° mengelilingi sumbu-
x
Jawab:
Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-
x,
maka volume nya adalah
V
S
³
2 2
2
1 2
x dx
Contoh
y fx
y gx
y
x a
b O
T
Gambar 1.10
Volume benda putar yang dibatasi kurva fx dan gx jika diputar mengelilingi sumbu-x
Bab 1 Integral
29
S
³
2 2
1 4
4 x
x dx
S § ·
¨ ¸
© ¹
2 3
2
1 2
3 3
x x
x
S
ª º
§ ·
¨ ¸
« »
© ¹
¬ ¼
8 8
6 3
S
2 3
Jad i, v o lum e bend a p utar y ang terjad i jika d aerah
S
d ip utar mengelilingi sumbu-
x
adalah
1 6
4
S satuan volume.
a b
O x
x gy
x fy
E.4. M enentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva
f
y dan gy jika Diputar M engelilingi Sumbu-y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva
f y
dan
g y
dengan
f y g y
t pad a interval [
a
,
b
] d iputar mengelilingi sumbu-
y.
Seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah
sebagai berikut.
Gambar 1.11
Volume benda putar yang dibatasi kurva fy dan gy
jika diputar mengelilingi sumbu-y
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik
f x
1 4
x
2, sumbu-
x
, garis
x
0, dan garis
x
4 diputar 360° mengelilingi sumbu-
y.
Jawab:
f x
1 4
x 2
Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas pengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurva
y f
x 1
4 x
2 dan garis
x
4. Substitusi
x
4 ke persamaan
y 1
4 x
2 sehingga diperoleh,
1 2
3 4
5 6
7 8
3 2
1 1
2 3
1 y
x x
4
U
Contoh
V U
S
³
2 2
b a
f y g y
dy
U
O y
2 y
x S
x 2
y 1
2 f x
x
O 2
Kategori