166
166
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
b.
5 2
3 5
5 7
x y
x y
2 5
3 5
5 7
y x
x y
5 7
x
5 3
·
y
2 5
5 7
x
2
·
y
2 5
2 7
5 7
x y
2. Sederhanakanlah
a.
3
x
b.
1 6
3 12
8 x
y
Jawab: a.
3
x
1 2
x
3 3
2
x
b.
1 1
1 1
6 6
6 6
3 12
3 3
12
8 2
x y
x y
1 1
2 2
2
2 x
y
2
2
y x
3. Sederhanakanlah
a
.
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
10 5
x y
b.
6 4 2
x
Jawab:
a.
1 1
2 2
10 10
5 5
x x
y y
§ ·
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
© ¹
5 5
x y
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
5 5
5
x y
5 25
x y
b.
6 4 6 4
2 2
x x
24 2
x
2 24
x
1 12
x
12
x
167
Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
1. Sederhanakanlah
a. 2
x
3
x
5
c.
3 2
2 3
m e.
1 15
5 3
a b
b.
5 3
4 2
a a
d.
1 2
4
2
m
f.
1 6
2 3
3 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
k l
2. Sederhanakanlah
a.
4
x
3
y
2
3
x
2
y
c.
5
4
x
e.
5 2
4
2x y
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
b.
7 5
2 3
10 9
x y
x y
d. 4
x
2
y
6
1 3
f.
2 6 4 3
x y
1.
1 1
2 2
1 1
2 2
2
2 2
4 1
1 . . . .
1 1
x y
x y
x y
x
§ ·
§ ·
§ · § ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ © ¹
© ¹ ©
¹ © ¹
§ · §
· § ·
§ · ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ © ¹ © ¹
© ¹
© ¹
2.
1 1
2 2
4
1 13
13 3
. . . . §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
Asah Kompetensi
2
B. 2. Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Simaklah contoh-contoh berikut ini.
• 4
2
x
1
32
x
3
merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel
x.
•
y
5
5
y
1
y
5
5 –
y
merupakan persamaan ekspo nen yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel
y.
• 16
t
2
4
t
1 0 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya
memuat variabel
t.
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya:
a.
a
f x
a
m
Jika
a
f x
a
m
,
a
0 dan
a
z
1, maka
f x
m
168
168
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
c.
a
f x
b
f x
,
a
z
b
Jika
a
f x
b
f x
,
a
0,
a
z
1,
b
0,
b
z
1, dan
a
z
b,
maka
f x
Tentukanlah penyelesaian 3 27
1
x
.
Jawab:
3 27
1
x
3
1
3
31
x
31
x
1 1
x
1 3
x
2 3
Jadi, penyelesaian 3 27
1
x
adalah
x
2 3
.
Tentukanlah penyelesaian 25
x
3
5
x
1
.
Jawab:
25
x
3
5
x
1
5
2
x
3
5
x
1
2
x
3
x
1 2
x
6
x
1
x
7 Jadi, penyelesaian 25
x
3
5
x
1
adalah
x
7.
b.
a
fx
a
g x
Jika
a
f x
a
g
x
,
a
0 dan
a
z
1, maka
f x
g x
Tentukanlah penyelesaian 45
x
6
50
x
6
.
Jawab:
45
x
6
50
x
6
Supaya ruas kiri dan kanan sama,
x
6 0, sehingga 45
= 50
x
6
x
6 Jadi, penyelesaian 45
x
6
50
x
6
adalah
x
6.
Contoh
Contoh
Contoh
169
Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
d.
f x
g x
f x
h x
Sekarang periksa apakah untuk
x
10 3
,
g x
dan
h x
keduanya positif?
3
10 10
100 3
3 9
10 10
20 2
3 3
3
g h
Jadi, untuk
x
10 3
,
g x
dan
h x
keduanya positif, sehingga
x
10 3
merupakan penyelesaian. •
3
x
10 1
3
x
9
x
3 Sekarang periksa apakah untuk
x
3,
g x
, dan
h x
keduanya genap atau keduanya ganjil?
g
3 3
2
9 dan
h
3 2
.
3 6
Perhatikan bahw a untuk
x
3,
g x
ganjil dan
h x
genap sehingga
x
3 bukan penyelesaian. Dengan demikian, himpunan penyelesaian
2
3 10
x
x
3
x
10
2
x
adalah 10 11
0, 2, ,
3 3
½
® ¾
¯ ¿
. Tentukanlah himpunan penyelesaian 3
x
10
2
x
3
x
10
2
x
.
Jawab:
•
x
2
2
x x
2
2
x x
x
2
x
0 atau
x
2 •
3
x
10 1
3
x
11
x
3 11
• 3
x
10 3
x
10
x
3 10
Contoh
Jika
f x
g x
f x
h x
, maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut. •
g x
h x
•
fx
1 •
f x
0, asalkan
g x
dan
h x
keduanya positif •
f x
1, asalkan
g x
dan
h x
keduanya genap atau keduanya ganjil
170
170
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Tentukan himpunan penyelesaian 16
t
2
4
t
1 0.
Jawab:
16
t
2
4
t
1 4
2
t
2
4
t
1 Misalkan
y
4
t
,
sehingga diperoleh:
y
2
2
y
1
y
1
2
y
1 Substitusi nilai
y
yang kalian peroleh ke pemisalan
y
4
t
4
t
1. Oleh karena untuk setiap
t
R
, 4
t
0, maka tidak ada nilai
t
yang memenuhi 4
t
1. Jadi, himpunan penyelesaian 16
t
2
4
t
1 0 adalah
.
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut
a.
2 3
2 5
3
1 2
8 2
x
§ · u
¨ ¸ © ¹
b. 2
x y
1
16
c. 3
2
x y
3
9
x
d. 3
5
x
1
27
x
3
e.
2
4 8
8
x x
f.
2 2
2 2
12 24
x x
x x
g. 6
x
2
6
x
1
5
h. 3
2
x
4
3
x
3
2.
x
1
dan
x
2
memenuhi persamaan log
log log
log x
x
x
1 1
1 10
10 Tentukanlah
x
1
x
2
3.
x
1
dan
x
2
memenuhi persamaan
100 5
100 100
100
100 5
log log
log log
x x
x x
Tentukanlah
x x
1 2 5
.
e.
A a
f x
2
B
a
f x
C
0,
a
0,
a
zzzzz
1,
A, B
,
C
R
,
A
zzzzz
Terlebih dahulu, misalkan
y a
f x
. Dari pemisalan ini, diperoleh
Ay
2
By C
0. Nilai
y
yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan
y a
f x
sehingga kalian memperoleh nilai
x
.
Asah Kompetensi
3
Contoh
171
Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
Asah Kompetensi
3
Tentukan nilai
x
yang memenuhi 3
3 2 2
3 2 2
2
x x
.
B. 3. Pertidaksamaan Eksponen
Sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat-sifat fungsi eksponen, yaitu sebagai berikut.
• Untuk
a
1, fungsi
f x
a
x
merupakan fungsi naik. Artinya, untuk setiap
x
1
,
x
2
R
berlaku
x
1
x
2
jika dan hanya jika
f x
1
f x
2
. •
Untuk 0
a
1, fungsi
f x
a
x
merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap
x
1
,
x
2
R
berlaku
x
1
x
2
jika d an hany a jika
f x
1
f x
2
. Sifat-sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen.
Tentukan himpunan penyelesaian 2
x
2
16
x
2
.
Jawab:
2
x
2
16
x
2
2
x
2
2
4
x
2
x
2 4
x
2 .....................
a
1, maka fungsi naik
x
2 4
x
8 3
x
10
x
3 10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP
`
10 ,
3
x x x
R
.
Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut
1.
2 5
2 1
1 2
2 2
4
x
§ · d
¨ ¸ © ¹
4.
3
2
x
4
3
2
x
3
2.
2
5 6
11
3 3
x x
x
5.
x
2
2
x
3
2
x
1
t
x
2
2
x
3
x
3
3.
2
2 1
1
1 1
2 4
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
x x
x
6.
6
2
x
1
8 · 6
x
2
Catatan
Himpunan penyelesaian dapat disingkat dengan
HP.
Contoh
172
172
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
W aktu : 60 menit 1.
Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut.
a.
3 1
1 32
64
x
§ ·
¨ ¸
© ¹
c. 2
2
x
2
x
2
32
b.
3
x
1
2
x
8
5
x
3
3
2
x 8
d.
3
2
x
5 · 3
4
x
1
6
2.
Tentukanlah himp unan p eny elesaian p ertid aksamaan- pertidaksamaan berikut
a.
2 2
1 8
2
x
§ · t
¨ ¸ © ¹
c.
3 3
4 3
x
x
b.
x
2
2
x
6
x
2
4
x
4
3
x
5
d. 2
2
x
2
x
2
3
3.
Sebuah koloni lebah meningkat 25 setiap tiga bulan. Pak Taho mad u
ingin memelihara lebah-lebah ini. Ia menargetkan lebah-lebah tersebut
mencap ai 18.000 d alam 18 bulan mend atang . Berap a bany ak lebah
yang harus dipeliharanya sekarang?
4. Jika po pulasi suatu ko lo ni bakteri
berlipat dua setiap 30 menit, berapa lama w aktu yang d iperlukan o leh
koloni itu agar populasinya menjadi berlipat tiga?
5. Segelas kopi kira-kira mengandung
100 mg kafein. Jika kalian meminum segelas kopi, kafein akan diserap ke
dalam darah dan akhirnya dimeta- bo lisme o leh tubuh. Setiap 5 jam,
banyak kafein d i d alam d arah berkurang 50.
a. Tulislah sebuah persamaan yang menyatakan banyak kafein
di dalam darah sebagai suatu fungsi eksponen dari waktu
t
sejak kalian minum kopi
b.
Setelah berapa jam kafein di dalam darah tinggal 1 mg?
A
SAH
K
EMAMPUAN
2
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20 Bobot soal: 20
Sumber: w w w .soccer.net
Sumber:
Microsoft Encarta Reference Library, 2005
Sumber:
Microsoft Encarta Reference Library, 2005
