Menentukan Volume kelas12 matematika aplikasi

2 2 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang ko nsep turunan ini d apat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. • f 1 x 3 x 3 3 • f 2 x 3 x 3 7 • f 3 x 3 x 3 1 • f 4 x 3 x 3 10 • f 5 x 3 x 3 99 Perhatikan bahw a fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum

f x

3 x 3 c , dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan f c x 9 x 2 . Jadi, turunan fungsi

f x

3 x 3 c adalah f c x 9 x 2 . Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi

f x

dari f c x yang diketahui? Menentukan fungsi

f x

dari f c x , berarti menentukan antiturunan d ari f c x . Sehing g a, integ ral m erup akan antiturunan antidiferensial atau operasi invers terhadap diferensial.

A. Pengertian Integral

Jika F x adalah fungsi umum yang bersifat F c x f x , maka F x merupakan antiturunan atau integral dari

f x

. Pengintegralan fungsi

f x

terhadap x dinotasikan sebagai berikut. ³

f x

dx F x c dengan: ³ no tasi integ ral y ang d ip erkenalkan o leh Leibniz , seo rang matematikaw an Jerman

f x

fungsi integran F x fungsi integral umum yang bersifat F c x f x c konstanta pengintegralan Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. • g 1 x x , didapat g 1 c x 1. Jadi, jika g 1 c x 1 maka g 1 x ³ g 1 c x dx x c 1 . • g 2 x 2 1 x 2 , didapat g 2 c x x . Jadi, jika g 2 c x x maka g 2 x ³ g 2 c x dx 2 1 x 2 c 2 . • g 3 x 1 3 x 3 , didapat g 3 c x x 2 . Jadi, jika g 3 c x x 2 maka g 3 x ³ g 3 c x dx

1 3

x 3 c 3 . • g 4 x 1 6 x 6 , didapat g 4 c x x 5 . Jadi, jika g 4 c x x 5 maka g 4 x ³ g 4 c x dx 1 6 x 6 c 4 . Bab 1 Integral 3 1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut a.

f x

5 x 2 10 c.

f x

1 2 x 3 2 x b.

f x

2 x 3 3 x 2 4 x 5 d.

f x

1 4 x 4

1 3

x 3 1 2 x 2 1 Jawab: a. f ’ x 2 ˜ 5 x 2 1 10 x b. f ’ x 3 ˜ 2 x 3 1 2 ˜ 3 x 2 1 1 ˜ 4 x 1 1 6 x 2 6 x 4 c. f ’ x § · ˜ ¨ ¸ © ¹

1 3

2 x 3 1 1 ˜ 2 x 1 1 3 2 x 2 2 d. f ’ x § · ˜ ¨ ¸ © ¹ 1 4 4 x 4 1 § · ˜ ¨ ¸ © ¹

1 3

3 x 3 1 § · ˜ ¨ ¸ © ¹ 1 2 2 x 2 1 x 3 x 2 x

2. Tentukanlah antiturunan

x jika diketahui: a. g 1 c x x 3 c. g 3 c x 3 x 4 2 x b. g 2 c x 2 x 6 3 d. g 4 c x x 2 4 x 1 2 Jawab: a. g 1 x 3 1

1 3

1 x

4 1 4 x c b. g 2 x 1 6 1 2 3 6 1

1 x

x 7 2 3 7 x x c c. g 3 x 4 1 1 1 3 2 4 1 1 1 x x c 5 2 3 2 5 2 x x 5 2 3 5 x x c Contoh Dari uraian ini, tampak bahwa jika g ‘ x x n , maka g x 1 1 1 n x n c atau dapat dituliskan z ³ 1

1 ,

1 1 n n x dx x c n n . Sebagai contoh, turunan fungsi

f x

3 x 3 c adalah f c x 9 x 2 . Ini berarti, antiturunan dari f c x 9 x 2 adalah

f x

3 x 3 c atau dituliskan ³ f ‘ x dx 3 x 2 c . Uraian ini menggambarkan hubungan berikut. Jika f ‘ x x n , maka

f x

1 1 1 n x n c, n z 1 dengan c suatu konstanta