62
62
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
11 11
11 12
12 12
1 1
1 21
21 21
22 22
22 2
2 2
j j
j n
n n
j j
j n
n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
nA
§ ¨
¨ ¨
¨ ¨
¨ ¨
¨ ¨
¨ ¨©
1 1
1 2
2 2
i i
i i
i i
ij ij
ij n
n n
a a
a a
a a
a a
a
· ¸
¸ ¸
¸ ¸
¸ ¸
¸ ¸
¸ ¸¹
11 12
1 21
22 2
1 2
j j
i i
ij
na na
na na
na na
nA na
na na
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
Dari uraian ini, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut.
Jika
A
sebuah matriks dan
k
bilangan real maka hasil kali
kA
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen
matriks
A
dengan
k
.
Diketahui matriks-matriks berikut. 2
1 1
3 2
2 3
4 1
7 5
A B
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
Tentukanlah:
a. A
A A
d. B
f.
23
A
b.
3
A e.
3
A B
g.
2
3
A
c.
3
B
Jawab:
a. A
A A
2 1
2 1
2 1
6 3
3 2
3 2
3 2
9 6
4 1
4 1
4 1
12 3
§ · §
· § · §
· ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹ ©
¹ © ¹
Jadi,
A A
A
6 3
9 6
12 3
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
.
Contoh
Bab 3 Matriks
63 b.
3
A
3 2
1 3
2 4
1 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 3 2
3 1 6
3 3 3
3 2 9
6 3 4
3 1 12
3
§
· §
· ¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
©
¹ ©
¹ Jadi, 3
A
6 3
9 6
12 3
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
.
c.
3
B
3 1
2 3
7 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
3 0 3 1
3 3 2
3 3
6 9
3 7 3 5
21 15
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
Jadi, 3
B
3 6
9 21
15 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ .
d. B
1
B
1 1
2 3
7 5
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1 0 1 1
1 1 2
1 3
2 3
1 7 1 5
7 5
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
©
¹ ©
¹
Jadi,
B
1 2
3 7
5 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ .
e.
3
A B
3
A B
6 3
1 6
2 9
6 2
3 7
9 12
3 7
5 5
2 §
· §
· §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹ ©
¹
64
64
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jadi, 3
A B
6 2
7 9
5 2
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
.
f.
23
A
2 6
3 9
6 12
3 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 2 6
2 3 12
6 2 9
2 6 18
12 2 12
2 3 24
6
§
· §
· ¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
©
¹ ©
¹
Jadi, 23
A
12 6
18 12
24 6
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
.
g.
2
3
A
6
A
6 2
1 3
2 4
1 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 6 2
6 1 12
6 6 3
6 2 18
12 6 4
6 1 24
6
§
· §
· ¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
©
¹ ©
¹
Jadi, 2
3
A
12 6
18 12
24 6
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
.
B. 3. Perkalian Dua M atriks
Pernahkah kita bermain domino? Bagaimanakah memasangkan kartu- kartu d alam permainan d o mino ? A gar selembar kartu d o mino d apat
dipasangkan dengan kartu domino yang lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sam a d eng an jum lah m ata bag ian kiri kartu
pasangannya.
2
u
4 4
u
1
2
u
1
Bab 3 Matriks
65
Prinsip p emasangan kartu d o mino ini d ap at kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks
A
dapat dikalikan dengan matriks
B
jika banyak kolom matriks
A
sama dengan banyak baris matriks
B
. Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks
A
dengan elemen-elemen pada kolom matriks
B
.
m p
p n
m n
A B
C
u u
u
u
ordo hasil perkalian
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
§ · §
· § ·
u ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹ ©
¹
dan
a b
e f
A B
c d
g h
a b
e f
ae bg af
bh A
B c
d g
h ce dg
cf dh
Diketahui matriks-matriks berikut.
A §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ 3
4 6
5
,
B 1
2 7
8 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
, dan
C 1
2 3
4 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
Tentukanlah:
a. A B
b. BA
c. A C
d. AB
AC
e. A
B C
Jawab: a.
A B §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ 3
4 1
2 6
5 7
8 3 1
4 7 3 2
4 8 31
38 6 1 5 7
6 2 5 8
41 52
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸
©
¹ © ¹
Jadi,
AB 31
38 41
52 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
.
b. BA
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ © ¹
1 2
3 4
7 8
6 5
1 3 2 6
1 4 2 5
15 14
7 3 8 6 6 2
8 5 69
52
§
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ Jadi,
BA 15
14 69
68 §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
.
Contoh