2. Perkalian Bilangan Real dengan M atriks

62 62 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam 11 11 11 12 12 12 1 1 1 21 21 21 22 22 22 2 2 2 j j j n n n j j j n n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

nA § ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨© 1 1 1 2 2 2 i i i i i i ij ij ij n n n

a a

a a

a a

a a

a · ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¹ 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij na na na na na na nA na na na § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Dari uraian ini, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut. Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k . Diketahui matriks-matriks berikut. 2 1 1 3 2 2 3 4 1 7 5 A B § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Tentukanlah:

a. A

A A

d. B

f. 23 A b. 3 A e. 3 A B g. 2 ˜ 3 A c. 3 B Jawab:

a. A

A A 2 1 2 1 2 1 6 3 3 2 3 2 3 2 9 6 4 1 4 1 4 1

12 3

§ · § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ Jadi, A A A 6 3 9 6

12 3

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . Contoh Bab 3 Matriks 63 b. 3 A 3 2

1 3

2 4 1 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 3 2 3 1 6 3 3 3 3 2 9 6 3 4 3 1 12 3 ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, 3 A 6 3 9 6

12 3

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . c. 3 B 3 1 2 3 7 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 3 0 3 1 3 3 2 3 3 6 9 3 7 3 5 21 15 ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, 3 B 3 6 9 21 15 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

d. B

1 B 1 1 2 3 7 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 1 0 1 1 1 1 2

1 3

2 3 1 7 1 5 7 5 ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, B 1 2 3 7 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . e. 3 A B 3 A B 6 3 1 6 2 9 6 2 3 7 9 12 3 7 5 5 2 § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 64 64 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Jadi, 3 A B 6 2 7 9 5 2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . f. 23 A 2 6 3 9 6 12 3 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 2 6 2 3 12 6 2 9 2 6 18 12 2 12 2 3 24 6 ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, 23 A 12 6 18 12 24 6 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . g. 2 ˜ 3 A 6 A 6 2

1 3

2 4 1 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 6 2 6 1 12 6 6 3 6 2 18 12 6 4 6 1 24 6 ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, 2 ˜ 3 A 12 6 18 12 24 6 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

B. 3. Perkalian Dua M atriks

Pernahkah kita bermain domino? Bagaimanakah memasangkan kartu- kartu d alam permainan d o mino ? A gar selembar kartu d o mino d apat dipasangkan dengan kartu domino yang lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sam a d eng an jum lah m ata bag ian kiri kartu pasangannya. 2 u 4 4 u 1 2 u 1 Bab 3 Matriks 65 Prinsip p emasangan kartu d o mino ini d ap at kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B . Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B . m p p n m n A B C u u u u ordo hasil perkalian § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · § · § · u ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹

dan

a b

e f A B

c d

g h

a b

e f ae bg af

bh A

B c d g h ce dg cf dh Diketahui matriks-matriks berikut. A § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ 3 4 6 5 , B 1 2 7 8 § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ , dan C 1 2 3 4 § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Tentukanlah:

a. A B

b. BA

c. A C

d. AB

AC

e. A

B C Jawab: a. A B § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 3 4 1 2 6 5 7 8 3 1 4 7 3 2 4 8 31 38 6 1 5 7 6 2 5 8 41 52 ˜ ˜ ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, AB 31 38 41 52 § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

b. BA

§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 1 2 3 4 7 8 6 5 1 3 2 6 1 4 2 5 15 14 7 3 8 6 6 2 8 5 69 52 ˜ ˜ ˜ ˜ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ ˜ ˜ ˜ © ¹ © ¹ Jadi, BA 15 14 69 68 § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . Contoh