Operasi Hitung pada Matriks 1. Penjumlahan dan Pengurangan M atriks

58 58 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam Contoh Diketahui matriks-matriks berikut. § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 1 2 3 4 5 5 4 2 , 2 1 , dan 2 3 1

1 3

6 1 4 A B C Tentukanlah:

a. A

B e. B A

b. B

A f. A B C

c. B

C g. A B C

d. A

B Jawab:

a. A

B § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 1 2 3 4 4 2 2 1 1 1 3 6

1 3

2 4 2 2 4 2 2 1 2 3 1 3 1 6 2 7 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jadi, A B 2 2 2 3 2 7 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

b. B

A 3 4 1 2 2 1 4 2 3 6 1 1 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 2 2 3 1 4 2 2 4 1 2 2 3 3 1 6 1 2 7 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Perhatikan bahw a kedua matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Hasil matriks yang diperoleh adalah matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Bagaimana dengan pengurangan matriks? Pengurangan matriks juga dapat dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama. Hasil pengurangan matriks ini merupakan matriks yang berordo sama, diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Bab 3 Matriks 59 Jadi, B A 2 2 2 3 2 7 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

c. B

C 3 4 5 5 2 1 2 3 3 6 1 4 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 3 5 4 5 2 1 2 2 1 3 4 4 3 1 6 4 4 2 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jadi, B C 2 1 4 4 4 2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

d. A

B 1 2 3 4 4 2 2 1 1 1 3 6 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹

1 3

2 4 4 6 4 2 2 1 6 1 1 3 1 6 4 5 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jadi, A B 4 6 6 1 4 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

e. B

A 3 4 1 2 2 1 4 2 3 6 1 1 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 3 1 4 2 4 6 2 4 1 2 6 1 3 1 6 1 4 5 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jadi, B A 4 6 6 1 4 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . 60 60 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

f. A

B C 2 2 5 5 2 3 2 3 2 7 1 4 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 2 5 2 5 3 3 2 2 3 3 6 2 1 7 4 3 3 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jadi, A B C 3 3 6 3 3 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ .

g. A

B C 1 2 2 1 4 2 4 4 1 1 4 2 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 1 2 2

1 3

3 2 1 2 4 3 6 1 4 1 2 3 3 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Jadi, A B C 3 3 6 3 3 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ . 1. Diketahui matriks-matriks berikut. 3 1 1 4 2

1 ,

, dan 3 2 5 3 4 A B C § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Tentukanlah:

a. A

B f. B C

b. B

A g. A B C

c. B

C t

h. A

B C

d. C

B t

i. A

B C

e. A

B t

j. A

t B C t 2. Diketahui matriks-matriks berikut. 3 1 2 4 2 2 3 4 , , dan 1 3 1 2 3 2 1 § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ D E F Asah Kompetensi 2 Bab 3 Matriks 61 Tentukanlah:

a. D

E F

f. D

E F

b. E

F D

g. F

E D

c. D

E F

h. D

F E

d. D

E F

i. D

E F

e. D

E F

j. D

F E 3. Diketahui 1 2 2 3 5 2 , , dan 3 4 1 1 A B C § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Tentukanlah A C A B Proyek Perintis 1979 4. Hitunglah: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 1 2 4 1 2 4 2 3 4 3 4 3 2 1 4 3 1 2

a b

c a

b c

a b

c a

b c

a b

c a

b c § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ 5. Diketahui: § · ¨ ¸ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ ¨ ¸ © ¹ 6 3 7 1 2 3 1 2 , 4 4 6 , dan 5 6 7 3 4 5

3 8

P Q R Jika mungkin, selesaikanlah operasi matriks berikut ini. Jika tidak, berikan alasannya

a. P

Q R

c. P

Q R

b. P

Q R

d. P

Q R

B. 2. Perkalian Bilangan Real dengan M atriks

Setelah Kita mempelajari penjumlahan dua dan tiga matriks. Sekarang, lakukan penjumlahan matriks A berordo i u j secara berulang sebanyak n kali. 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij

a a

A a

a a

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ maka: 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 j j j j j j i i ij i i ij i i ij

a a

A A A a

a a

§ · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 62 62 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam 11 11 11 12 12 12 1 1 1 21 21 21 22 22 22 2 2 2 j j j n n n j j j n n n

a a

a · ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¹ 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij na na na na na na nA na na na § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Dari uraian ini, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut. Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k . Diketahui matriks-matriks berikut. 2 1 1 3 2 2 3 4 1 7 5 A B § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ Tentukanlah:

a. A

A A

d. B

f. 23 A b. 3 A e. 3 A B g. 2 3 A c. 3 B Jawab:

a. A

A A 2 1 2 1 2 1 6 3 3 2 3 2 3 2 9 6 4 1 4 1 4 1