Bab 4 Vektor
85
Pada bidang Cartesius tersebut, vektor a mewakili ruas garis berarah
dari titik pangkal
O
0, 0 ke titik
A a
1
,
a
2
. Oleh karena itu, vektor a ini dapat kalian tuliskan dalam bentuk pasangan terurut a
a
1
,
a
2
. Adapun
vektor b mew akili ruas garis berarah dari titik pangkal
O
0, 0 ke titik
B b
1
,
b
2
. Vektor b dapat kalian tuliskan sebagai b
b
1
,
b
2
. Dengan menggunakan rumus jarak, kalian dapat menentukan panjang
vektor a dan b ini, yaitu: Panjang vektor a adalah |a|
2 2
1 2
a a
Panjang vektor b adalah |b|
2 2
1 2
b b
Dengan menarik ruas garis dari titik
A
ke titik
B
, kalian mendapatkan
vektor c. Dengan menggunakan rumus jarak, vektor c ini dapat di tuliskan sebag ai c
b
1
a
1
,
b
2
a
2
sehing g a p anjang v ekto r c ad alah
2 2
1 1
2 2
b a
b a
c
.
Jika arah vektor c dibalik, maka akan didapat vektor c
, yaitu sebuah
vekto r yang panjangnya sama d engan panjang vekto r c d engan arah berlawanan. Vektor ini disebut vektor invers dari vektor c. Jika ditulis dalam
bentuk pasangan terurut, vektor
c
a
1
b
1
,
a
2
b
2
. Panjangnya adalah
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
c
a b
a b
b a
b a
Untuk setiap vektor a yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vekto r satuan d ari vekto r a, d ilambangkan d engan
ˆe . Vekto r satuan
arahnya searah d engan vekto r a d an panjangnya sama d engan satu satuan.
Jika vektor
x y
§ · ¨ ¸
© ¹
a
, maka vektor satuan dari a dirumuskan dengan:
2 2
a 1
ˆe a
x y
x y
§ · ¨ ¸
© ¹
Vektor-vektor satuan ˆ
ˆ i dan j
dapat dinyatakan dengan vektor kolom, yaitu:
1 ˆ
ˆ i
dan j 1
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang
R
2
, kalian dapat memahami vektor pada ruang
R
3
. Misalnya, ambil sebarang titik
A a
1
,
a
2
,
a
3
dan
B b
1
,
b
2
,
b
3
pada ruang
R
3
, maka kalian dapat menuliskan
vektor a yang mewakili vektor
OA
o
dan vektor b yang mewakili vektor
OB
o
dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.
a
a
1
,
a
2
,
a
3
dan b
b
1
,
b
2
,
b
3
Panjang kedua vektor ini masing-masing
|a|
2 2
2 1
2 3
a a
a
dan |b|
2 2
2 1
2 3
b b
b
86
86
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Contoh
1. Diketahui segitiga
A BC
d eng an titik-titik sud ut
A
0, 3, 5,
B
2, 4, 6, dan
C
4, 3, 1. Tentukan:
a. Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal
A
ke titik
B
b. Vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal
B
ke titik
C
c. Vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal
A
ke titik C
d.
Keliling segitiga
ABC
Jawab: a.
Vektor p mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal
A
ke titik
B,
maka p
AB
o
2 0, 4
3, 6 5
2, 1, 1.
Panjang vektor p adalah
2 2
2
2 1
1 4 1 1
6 p
JJJG
6 A B
b. Vektor q mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal
B
ke titik
C,
maka q
BC
o
4 2, 3
4, 1 – 6 2,
1, 5.
Panjang vektor q adalah
2 2
2
2 1
5 4 1 25
30 q
c. Vektor r mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal
A
ke titik
C,
maka r
AC
o
4 0, 3
3, 1 5
4, 0, 4.
Panjang vektor r adalah
2 2
2
4 4
r
16 16 32
4 2
d. Keliling segitiga
ABC
adalah 6
30 4 2
p q
r
Untuk v ekto r p ad a ruang
R
3
, jug a d ap at d itentukan v ekto r satuannya. Jika vektor
x y
z
§ · ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹
a , maka vektor satuan dari a dirumuskan
dengan:
2 2
2
a 1
ˆe a
x y
x y
z z
§ · ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹
Vekto r-vekto r satuan ˆ
ˆ ˆ i, j, dan k
d apat d inyatakan d engan vekto r kolom, yaitu:
1 ˆ
ˆ ˆ
i 0 , j
1 , dan k 1
§ · § ·
§ · ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
© ¹
Bab 4 Vektor
87
2. Diketahui vektor a dan b di
R
2
. Jika
_
a
_
5,
_
b
_
7, dan
105 a b
, tentukan
_
a b
_
Jawab:
Dari
_
a
_
5, didapat
2 2
1 2
a a
5
a
1 2
a
2 2
25 …
Persamaan
1 Dari
_
b
_
7, didapat
2 2
1 2
b b
7
b
1 2
b
2 2
49 ...
Persamaan
2 Dari
105
a b
, didapat
2 2
1 1
2 2
105 a
b a
b Sehingga diperoleh
a
1
b
1 2
a
2
b
2 2
105
a
1 2
2
a
1
b
1
b
1 2
a
2 2
2
a
2
b
2
b
2 2
105
a
1 2
a
2 2
b
1 2
b
2 2
2
a
1
b
1
2
a
2
b
2
105 …
Persamaan
3 Substitusi persamaan 1 dan 2 ke persamaan 3
25 49
2
a
1
b
1
2
a
2
b
2
105 2
a
1
b
1
2
a
2
b
2
31 …
Persamaan
4
_
a b
_
2 2
1 1
2 2
a b
a b
2 2
1 1 1
1 2
2 2
2 2 2
2 2
2
a a b
b a
a b b
2 2
2 2
1 2
1 2
1 1 2 2
2 2
a a
b b
a b a b
…
Persamaan
5 Substitusi persamaan 1, 2, dan 4 ke persamaan 5
_
a b
_
25 49 31 43
Jadi,
_
a b
_
43 .
W aktu : 60 menit 1.
Gambarkan vektor-vektor berikut pada koordinat Cartesius
a. k
4, 7 f.
p 3, 0, 3
b. l
7, 4 g.
q 6, 7, 8
c. m
5, 0 h.
r 2,
2, 0
d. n
0, 5
i. s
4, 4, 4
e. o
5, 5
j. t
0, 0, 0
2.
Diketahui segitiga
