14
14
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
2 2
3
3 3
3 3
27 27
9
i
i i
f x x
f i
n n
n n
n n
§ ·
§ · § ·
§ ·
u u
¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹ © ¹
© ¹
© ¹
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
L f
x
1
x f
x
2
x
. . .
f x
n
x
……
2 2
2 3
3 3
27 27
27 27
27 27
1 2
n n
n n
n n
n
§ · §
· §
· ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹ ©
¹ ©
¹
2 2
2 3
27 .
1 2
...
n n
n n
3 2
2
1 2 1
27 9
3 1
9 3
1 27
27 2 18
6 2
2 n n
n n
n n
n n
ª º
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
« »
© ¹
© ¹
¬ ¼
Dengan memilih
x
o
0 maka
n
of
, sehingga akan diperoleh luas daerah yang dibatasi kurva
f x
9
x
2
, sumbu-
x
, garis
x
0, dan
x
3 sebagai berikut.
L R
lim
n of
2
9 3 1
18 18
2 n n
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
L R
n
f x
1
x f
x
2
x
…
f x
n
x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut.
1 n
n i
i
L R f x
x
¦
Jika
x
o
0, maka akan diperoleh
1
lim
n n
i x
i
L R f x
x
o
¦
Dengan mengambil batas daerah
x
1
a
dan
x
2
b
, maka bentuk di atas merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
L
³
b a
f x dx
Sehingga diperoleh º
»¼
³
3 3
2 3
1 9
9 27 9
18 3
x dx
x x
. Jika fungsi
f
terdefinisi pada interval [
a
,
b
], maka
³
b a
f x dx
adalah integral tertentu terhadap fungsi
f
dari
a
ke
b
. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut.
³
b b
a a
f x dx f x
F b F a
dengan:
f x
fungsi integran
a
batas baw ah
b
batas atas
Bab 1 Integral
15
Sahabat Kita
Sumber: Calculus and Geometry Analitic
Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan
asal Jerman yang lahir p ad a tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya
menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut d inamakan integral Riemann.
Riemann meninggal pada tahun 1866.
Gambar 1.3 Riemann
Sumber:
http : w w w -gro up s.d cs.st- and .ac.uk
Asah Kompetensi
2
Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut
1.
1
5x dx
³
4.
2
sin x dx
S
³
2.
1 2
1 x
dx
³
5.
3 3
x dx
³
3.
3 2
x dx
³
6.
2
cos x dx
S
³
Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu
³
b a
f x dx
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya adalah fungsi.
C. 2. Teorema Dasar Kalkulus
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
Jika
f
ko ntinu p ad a interv al
, a b
d an and aikan
F
sembarang antiturunan dari
f
pada interval tersebut, maka
³
b a
f x dx F
b F
a
.
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut.
16
16
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Teorema penambahan interval
Jika
f
terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik
a
,
b
, dan
c,
maka
c a
f x dx
³
b c
a b
f x dx f x dx
³ ³
Kesimetrian a.
Jika
f
fungsi genap, maka
a a
f x dx
³
2
a
f x dx
³
b.
Jika
f
fungsi ganjil, maka
a a
f x dx
³
Teorema 3
Teorema 4
Kelinearan Jika
f
dan
g
terintegralkan pada interval [
a
,
b
] dan
k
suatu konstanta, maka
a.
b a
kf x dx
³
k
b a
f x dx
³
b.
b a
f x g x
dx
³
b a
f x dx
³
b a
g x dx
³
c.
b a
f x g x
dx
³
b a
f x dx
³
b a
g x dx
³
Perubahan batas Jika
f
terintegralkan pada interval [
a, b
] maka:
a.
a a
f x dx
³
b.
a b
f x dx
³ ³
b a
f x dx
Teorema 1
Teorema 2
Bab 1 Integral
17
2b.
Jika
F x
sembarang antiturunan dari
f x
, maka
ª º
¬ ¼
³
b b
a a
f x dx F x
F b
F a
F a
F b
a b
f x dx
³
Jadi,
³ ³
b a
a b
f x dx f x dx
.
Pembuktian Teorema 2b
1
1a.
Jika
F x
sembarang antiturunan dari
f x
, maka
³
b a
kf x dx
b a
kF x kF
b kF
a k
F b
F a
k
b a
f x dx
³
Jadi,
b b
a a
kf x dx k f x dx
³ ³
Akan dibuktikan teorema 1
a
dan 1
c
, teorema 2
b
, dan teorema 3.
1b. Jika
F x
dan
G x
masing-masing sembarang antiturunan dari
f x
dan
g x
, maka
r
³
b a
f x g x
dx
r
b a
F x G x
F b
r
G b
F a
r
G a
F b
r
F a
G b
r
G a
r
³ ³
b b
a a
f x dx g x dx
Jadi,
b b
b a
a a
f x g x
dx f x dx
g x dx
³ ³
³
.
Pembuktian Teorema 1b dan 1c
Pembuktian Teorema 1a
18
18
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jika
F x
sembarang antiturunan dari
f x
, maka
[ ]
c c
a a
f x dx F x
³
F c
F a
F c
F b
F b
F a
c b
b a
f x dx f x dx
³ ³
Jadi,
c c
b b
c a
b a
a b
f x dx f x dx
f x dx f x dx
f x dx
³ ³
³ ³
³
.
Pembuktian Teorema 3
1
Contoh
1. Hitunglah
S
³
6
sin 3 cos
x x dx
. Jawab:
6 6
6
sin 3 cos
sin 3 cos
x x dx
x dx x dx
S S
S
³ ³
³
6 6
1 cos 3
sin 3
x x
S S
ª º
« »
¬ ¼
1 cos
cos 0 sin
sin 0 3
2 6
S S
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹
1 1
1 3
2
5 6
Jadi,
6
5 sin 3
cos 6
x x dx
³
S
.
2.
Tentukan
1 2
1
x dx
³
.
Jawab:
Oleh karena untuk
f x
x
2
, berlaku
f x
f x
, maka
f x
x
2
merupakan fungsi genap. Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
1 1
2 2
1
2 x
dx x
dx
³ ³
1 3
1 2
3 x
ª º
« »
¬ ¼
Teorema 1b
Bab 1 Integral
19
2 3
1
3 3
2 3
Jadi,
1 2
1
2 3
x dx
³
.
3. Tentukanlah
4
f x dx
³
jika fungsi
f
didefinisikan sebagai
f x
2, jika 0 2
1 , jika 2
x x
x
d
® t
¯
Jawab:
4
f x dx
³
2 4
2
f x dx f x dx
³ ³
Teorema 3
2 4
2
2 1
x dx
dx
³ ³
2 4
2 2
1 2
2 x
x x
ª º
«
» ¬
¼
2 2
1 1
2 2 2
2 0 4 2
2 2
2 4
2 8
Jadi,
4
f x dx
³
8.
Asah Kompetensi
3
1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini
a.
5 1
2x dx
³
e.
³
1 2
7 6
1
x x
x
b.
S
³
2
4 3 cos
x x dx
f.
³
5 2
3 5
x x
c.
100 5
100
x dx
³
g.
S S
³
2
cos sin
x x dx
d.
³
2 3
2 1
x dx
h.
S
S
³
6
3 cos3
4 x
dx
20
20
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
2.
Dari fungsi
f x
berikut, hitunglah
³
5
f x dx
a.
2, jika 0 2
6 , jika 2
5 x
x f x
x x
d
® d
d ¯
b.
d
® d
d ¯
2
4 , jika
3 4
2 , jika 4
10 x
x f x
x
c.
2
9 , jika 0
3 5
, jika 3
x x
f x x
x
d d
® t
¯
Bobot soal: 80 W aktu : 60 menit
1. Tentukanlah integral tertentu berikut
a.
2 2
1
4 6
t t
dt
³
e.
2 3
1
3 1
x x
dx
³
b.
8 1
4 3
3 1
x x
dx
³
f.
4 3
sin 2 cos 2 x
x dx
S
³
c.
4 2
2 1
x x
x dx
³
g.
2
1 cos x dx
S S
³
d.
3 2
1
1 2
dt t
³
h.
4 4
tan x dx
S
³
2.
Jika
1
4 f x dx
³
d an
1
2 g x dx
³
, hitung lah integ ral-integ ral berikut
a.
1
3 f x dx
³
d.
1
2 3 g x
f x dx
³
b.
1
f x g x
dx
³
e.
2 1
2 3 f x
x dx
³
c.
1
3 2
2 f x
g x dx
³
Bobot soal: 10
A
SAH
K
EMAMPUAN
2
Bab 1 Integral
21
3.
Diketahui
f
merupakan fungsi ganjil dan
g
merupakan fungsi genap dengan
³ ³
1 1
3 f x
dx g x dx
. Tentukanlah integral-integral berikut
a.
1 1
f x dx
³
b.
1 1
g x dx
³
c.
1 1
f x dx
³
D. 1. M enentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Pada subbab c kalian telah mengetahui bahw a luas merupakan limit suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.
Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Misalkan
R
daerah yang dibatasi oleh kurva
y f
x
, sumbu-
x
, garis
x a
, dan garis
x b
, dengan
f x
t
0 pada [
a, b
], maka luas daerah
R
adalah sebagai berikut.
L R
b a
f x dx
³
D. Menentukan Luas Daerah
Bobot soal: 10
y = fx y
x a
b
R
O
Gambar 1.4
Luas daerah di atas sumbu-x L
R
22
22
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva
f x
4
x
2
, sumbu-
x
, garis
x
0, dan
x
1.
Jawab:
Daerah tersebut adalah daerah
R
. Luas daerah
R
adalah:
L R
1 2
4 x
dx
³
1 3
1 4
3 x
x ª
º «
» ¬
¼
3
1 4 1
1 3
2
3 3
Jadi, luas daerah
R
adalah
2 3
3
satuan luas.
O
1 2
2 1
y
x
fx = 4 x
2
x = 1
4
D. 2. M enentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu
-
x
Misalnya
S
daerah yang dibatasi oleh kurva
y f
x
, sumbu-
x
, garis
x a
, dan garis
x b
, dengan
f x
d
0 pada [
a
,
b
], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah
S
adalah
L S
b a
f x dx
³
Contoh
R
Gambar 1.5
Luas daerah di baw ah sumbu x a
b x
y
y = fx
S O
Bab 1 Integral
23
Tentukanlah luas d aerah y ang d ibatasi o leh g aris
y 1
4 x
2, sumbu-
x
, garis
x
4, dan sumbu-
y
.
Jawab:
Daerah tersebut adalah daerah
S
. Luas Daerah
S
adalah
L S
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
4
1 2
4 x
dx
4 2
1 2
8 x
x ª
º «
» ¬
¼
2
1 4
2 4 0 8
2 8
6
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.
D. 3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak D ibatasi Kurva
y
fx dan sumbu-x
Misalkan
T
daerah yang dibatasi oleh kurva
y f
x
, sumbu-
x
, garis
x a
, dan garis
x c
, dengan
f x
t
0 pada [
a
,
b
] dan
f x
d
0 pada [
b
,
c
], maka luas daerah
T
adalah
L T
b a
f x dx
³
c b
f x dx
³
Rumus ini didapat dengan membagi daerah
T
menjadi
T
1
dan
T
2
masing- masing pada interval [
a
,
b
] dan [
b
,
c
]. Kalian dapat menentukan luas
T
1
sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-
x
dan luas
T
2
sebagai luas daerah yang terletak di bawah sumbu-
x
.
Contoh
Gambar 1.6
Luas daerah yang dibatasi kurva y = fx dan sumbu-x
O
1 2
3 4
5 6
7 8
3 2
1 1
2 3
1 y
x S
y =
1 4
x 2
x = 4
y f
x y
x a
b c
T
1
T
2
O
