72
72
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Minor-minor dari matriks
A
adalah sebagai berikut.
22 23
12 13
12 13
11 21
31 32
33 32
33 22
23 21
23 11
13 11
13 12
22 32
31 33
31 33
21 23
21 22
11 12
11 12
13 23
33 31
32 31
32 21
22
a a
a a
a a
M M
M a
a a
a a
a a
a a
a a
a M
M M
a a
a a
a a
a a
a a
a a
M M
M a
a a
a a
a
b. Kofaktor
Kofaktor dari baris ke-
i
dan kolom ke-
j
dituliskan dengan
A
ij
. Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus
A
ij
= 1
i
+
j
|
M
ij
| Kofaktor-kofaktor dari matriks
A
adalah sebagai berikut.
A
11
= 1
1 + 1
|
M
11
| = |
M
11
|
A
12
= 1
1 + 2
|
M
12
| = |
M
12
|
A
13
= 1
1 + 3
|
M
13
| = |
M
13
|
A
21
= 1
2 + 1
|
M
21
| = |
M
21
|
A
22
= 1
2 + 2
|
M
22
| = |
M
22
|
A
23
= 1
2 + 3
|
M
23
| = |
M
23
|
A
31
= 1
3 + 1
|
M
31
| = |
M
31
|
A
32
= 1
3 + 2
|
M
32
| = |
M
32
|
A
33
= 1
3 + 3
|
M
33
| = |
M
33
|
c. Adjoint
Misalkan suatu matriks
A
bero rd o
n
u
n
dengan
A
ij
ko fakto r d ari matriks
A
, maka §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
11 21
1 12
22 2
1 2
A djo int A dj
n n
n n
nm
A A
A A
A A
A A
A A
A
Untuk matriks
A
berordo 3
u
3, maka
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
11 21
31 12
22 32
13 23
33
A dj
A A
A A
A A
A A
A A
Bab 3 Matriks
73
Contoh
Tentukan invers dari matriks
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1 2
3 2
5 3
1 8
A
.
Jaw ab:
1 2
3 1
2 2
5 3
2 5
1 8
1 40
6 15
32 46
47 1
A
11
5 3
40 40
8
A
12
2 3
16 3
13 1
8
A
13
2 5
5 5
1
A
21
2 3
16 16
8
A
22
1 3 8
3 5
1 8
A
23
1 2 2
2 1 0
A
31
2 3
6 15
9 5
3
A
32
1 3
3 6
3 2
3
A
33
1 2
5 4
1 2
5
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
40 16
9 A dj
13 5
3 5
2 1
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1
40 16
9 13
5 3
40 16
9 5
2 1
Adj 13
5 3
1 5
2 1
A A
A
74
74
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Untuk menentukan determinan dari matriks bero rdo 3
u
3, selain dengan kaidah Sarrus, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor.
Misalkan matriks
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
11 12
13 21
22 23
31 32
33
A A
A A
A A
A A
A A
Determinan matriks
A
det
A
dapat ditentukan menggunakan rumus: i |
A
| =
a
11
A
11
+
a
12
A
12
+
a
13
A
13
=
11 11
12 12
13 13
a M
a M
a M
=
22 23
21 23
21 22
11 12
13 32
33 31
33 31
32
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
ii |
A
| =
a
21
A
21
+
a
22
A
22
+
a
23
A
23
=
21 21
22 22
23 23
a M
a M
a M
=
12 13
11 13
11 12
21 22
23 32
33 31
33 31
32
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
iii |
A
| =
a
31
A
31
+
a
32
A
32
+
a
33
A
33
=
31 31
32 32
33 33
a M
a M
a M
=
12 13
11 13
11 12
31 32
33 22
23 21
23 21
22
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
Contoh
Tentukan determinan dari matriks
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
1 3
3 1
4 3
1 3
4
B
.
Jaw ab:
Untuk menentukan determinannya, dapat digunakan ketiga rumus yang telah dijelaskan di atas. Gunakan salah satu rumus tersebut.
11 11
12 12
13 13
4 3
1 3
1 4
1 3
3 3
4 1
4 1
3 1
16 9
3 4
3 3
3 4
7 3
3 1
B a A
a A a A
Asah Kompetensi
5
1.
Tentukanlah invers dari setiap matriks berikut
§ ·
¨ ¸
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
¨ ¸
© ¹
1 1
3 5
6 15
2 2
, ,
, 1
1 14
1 2
5 2
2
a b
a b
A B
C a
b a
b
Bab 3 Matriks
75
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
1 1
2 1
2 1
2 4
3 , dan
1 1
1 3
6 8
1 1 0
D E
2.
Tentukanlah nilai
x
sehingga setiap matriks berikut singular
§ ·
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
¨ ¸
© ¹
4 2
1 9
9 ,
, dan 8
2 1 3
4 2
1 3
x x
A B
C x
x x
x
3.
Diketahui matriks 4
1 2
1
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
. Jika matriks
A kI
adalah matriks singular, tentukanlah nilai
k
4.
Diketahui matriks 1
1 2
2
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
dan 1
1 4
B
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
. Jika
XA B
, tentukanlah matriks
X
.
EBTA NA S 1995
3
A
SAH
K
EMAMPUAN
W aktu : 60 menit 1.
Tentukanlah syarat agar matriks §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
a b a
a a
b
tidak mempunyai invers.
2.
Diketahui matriks 1
3 2
4
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
. Tunjukkan bahwa
A
1
t
A
t
1 .
3.
Diketahui matriks 4
7 3
5
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
dan 2
1 4
3
B
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
. Jika
t t
A k A
, tentukanlah nilai
k.
EBTA NA S 1997
4.
Tunjukkan bahw a 2
1 3
7 5
3 8
7 9
8 3
4 1
6 2
4 2
2 3
7 9
1 5
4 habis dibagi 19.
Bobot soal: 10
Bobot soal: 10
Bobot soal: 50
Bobot soal: 30
76
76
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Buktikan bahwa jika matriks
B
dapat bertukar tempat, maka
AB
1
B
1
A
jika dan hanya jika
AB BA
.
Sumber: Elementary Linear A lgebra
Pad a bab sebelumnya telah d ibahas tentang p enyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi,
d an meto d e substitusi. Pad a bab ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks.
Misalkan, sistem persamaan linear berikut.
ax by
e cx
dy f
Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut.
§ · §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ © ¹
a b
x e
c d
y f
Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut.
D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear
1.
Jika
AX B,
maka
X A
1
B,
dengan |
A
|
z
2.
Jika
XA B,
maka
X BA
1
,
dengan |
A
|
z
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut 3
x
4
y
5 5
x
6
y
1
Jawab:
Terlebih d ahulu, ubah sistem persamaan linear tersebut menjad i persamaan matriks berikut.
§ · §
· § ·
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹ © ¹
3 4
5 5
6 1
x y
Kemudian, tentukan determinan matriks
A
, yaitu :
_ _
3 4
5 6
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
18 20
38 Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan
dengan cara berikut.
A X B
Contoh
Bab 3 Matriks
77
1
6 4
1 38
5 3
A
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
§ ·
§ · §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ¨ ¸
© ¹
© ¹ ©
¹ ¨
¸ ©
¹
17 6
4 5
19 1
38 5
3 1
11 19
x y
X A
1
B
Jadi,
x 17
19
dan
y 11
19
.
Selain d engan cara d i atas, sistem p ersamaan linear d ap at juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika
AX B
maka
x
1
1
A A
,
x
2
2
A A
, …,
x
j
j
A A
.
A
j
adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-
j
dari matriks
A
dengan elemen-elemen matriks
B
.
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer
3
x
4
y
5 5
x
6
y
1
Jawab:
Terlebih dahulu, tentukan
A
,
1
A
, dan
2
A 3
4 38
5 6
A
1
5 4
34 1
6
A
2
3 5
22 5
1
A
Jadi,
x
1
A A
34 17
38 19
dan
y
2
A A
22 11
38 19
. Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut
adalah
x 17
19
dan
y 11
19
.
Contoh
