metodologi least-squares tradisional untuk mengestimasi fungsi produksi. Coelli 1995 dan Coelli, et al., 1998 berpendapat bahwa mengestimasi fungsi
produksi frontier memiliki dua keuntungan utama dibanding dengan mengestimasi fungsi produksi rata-rata. Pertama, estimasi fungsi produksi rata-
rata hanya memberikan fungsi teknologi rata-rata petani, sedangkan estimasi fungsi produksi frontier sangat dipengaruhi oleh petani yang mempunyai kinerja
terbaik yang mencerminkan teknologi yang digunakan. Kedua, fungsi produksi frontier mewakili hasil estimasi metode praktek terbaik di mana efisiensi petani
dalam industri tersebut bisa diukur. Misalnya, proses produksi atau teknologi dituliskan sebagai berikut :
i=1,2… n …….……...............................................2.1 di mana
adalah tingkat produksi untuk petani contoh ke-i; adalah
bentuk fungsi yang sesuai; adalah vektor input untuk petani ke-i; adalah
vektor parameter tidak diketahui yang akan diukur; adalah variabel acak; dan N adalah jumlah petani. Fungsi produksi mewakili output maksimum yang
mungkin tercapai pada kombinasi input tertentu. Tetapi, estimasi model di atas mengasumsikan
~N0, σ
s 2
menghasilkan fungsi produki rata-rata. Untuk pengukuran efisiensi, diupayakan bisa menentukan standar atau fungsi produksi
dari perilaku yang diamati bisa diukur. Dalam realita, petani mungkin tidak mencapai tingkat output maksimum, sebagai akibat terjadinya inefisiensi teknis.
Muller 1974 melakukan modifikasi fungsi cobb-douglas dalam rangka melakukan studi empiris dalam upaya mengukur dampak informasi terhadap
efisiensi teknis yang dikaitkan dengan fungsi produksi frontier. Perbedaan inefisiensi teknis yang terjadi pada petani disebabkan ketidakmampuan petani
berproduksi pada fungsi produksi frontier. Hal tersebut dikarenakan : 1 teknologi produksi yang digunakan oleh petani dapat berbeda, dengan demikian
jika hal ini benar, maka tidak ada alasan kuat untuk membandingkannya; 2 perbedaan pengamatan yang dapat disebabkan gangguan acak, kemungkinan
yang kedua ini jelas dan tidak sukar dijelaskan; dan 3 terjadi perbedaan efisiensi teknis, dalam hal situasi ini semua produsen telah menggunakan
teknologi yang sama tetapi produsen yang satu lebih efisien menggunakannya daripada yang lain.
2.3.1. Frontier Parametrik Deterministik
Disebut frontier parametrik deterministik karena output di batasi dari atas oleh fungsi produksi yang tidak bersifat stokastik. Di mana galad satu sisi
onesided error term akan memaksa output y lebih kecil dari fungsi produksi frontier atau fx. Hal ini berbeda dengan pendekatan non-parametrik karena
teknologi yang ada diekspresikan dengan bentuk fungsi spesifik. Aigner dan Chu 1968 mengikuti pendapat Farrel 1957 menyarankan penggunaan bentuk
fungsi spesifik, berbentuk fungsi produksi Cobb-Douglas homogenus. Model ini ditulis sebagai berikut :
, i=1,2… n …….……..............................................2.2
di mana: =output petani ke-i; = vektor input untuk petani ke-i; = bentuk
fungsi Cobb-Douglas; = vektor parameter yang tidak diketahui yang akan diukur;
= variabel acak non-negatif terkait dengan efisiensi teknis. adalah
galat satu sisi, yang mempunyai implikasi semua observasi terletak pada atau di bawah frontier, yaitu :
, i=1,2… n …….……..........................................................2.3
Aigner dan Chu 1968 menyarankan parameter fungsi frontier diukur dengan programasi linier atau kuadratik. Dalam aplikasi empiris, Aigner dan Chu
1968 menggunakan linier programing dimana parameter fungsi frontier
diestimasi dengan meminimalkan jumlah dengan syarat
0, untuk semua ke-i.
Efisiensi teknis dari petani ke-i dapat didefinisikan sebagai rasio aktual output terhadap output frontier terkait :
] = exp- .................................................................2.4 Ukuran efisiensi teknis yang dikembangkan menggunakan pendekatan
berorientasi output. Keuntungan utama pendekatan ini dibanding pendekatan non-parametrik bahwa lebih sedikit retsriksi yang di-impose dan non-constant
return to scale bisa diakomodasi tetapi, salah satu kelemahan pendekatan ini adalah memiliki sensitivitas estimasi parameter terhadap pencilan outlier karena
frontier jenis ini diestimasi berdasarkan subset data. Aigner dan Chu 1968 menyarankan bahwa tehnik programing dengan
kendala peluang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah outlier, dengan membiarkan sebagian pengamatan berada di atas frontier estimasi. Saran ini
dilakukan oleh Timmer 1971 untuk mendapatkan frontier probabilistik. Teknik ini
dilakukan dengan mengestimasi parameter model dengan secara berurutan membuang persentase pengamatan outlier sampai perubahan estimasi
parameter cukup kecil. Kelemahan pendekatan ini adalah bersifat acak dari seleksi pengamatan untuk dihilangkan dari sampel. Kelemahan lainnya adalah
tidak adanya asumsi galat, hasil estimasi parameter tidak memiliki sifat statistik dan pengujian hipotesis tidak mungkin dilakukan.
2.3.2. Frontier Statistik Deterministik
Membuat beberapa asumsi statistik tentang galat dalam persamaan 2 adalah motif pengembangan model ini. Dalam persamaan 2.8, Ui diasumsikan
terdistribusi secara independen dan identik iid dan nilai Xi diasumsikan exogenous independen dari Ui. Karena galat Ui adalah satu sisi, estimator OLS
untuk parameter tidak bisa diterima untuk mengukur parameter di dalam model 10. Secara ringkas persamaan fungsi produksi frontier statistik deterministic
dalam bentuk logaritma dapat diformulasikan sebagai berikut : ,
…......................................2.5 Metode ini menggunakan teknik statistika untuk mengestimasi frontier
statistik determenistik. Metode estimasi untuk frontier statistik deterministic dapat dilakukan dengan corrected ordinary least Squares COLS dan parametric linier
programming PLP, Aigner dan Chu 1968. Richmond 1974 memberikan pendekatan alternatif untuk mengestimasi fungsi produksi frontier statistic
deterministik yang dikemukakan oleh Afriat 1972. Pendekatan ini, yang disebut OLS terkoreksi COLS, mudah diaplikasikan dan tidak memerlukan asumsi
khusus tentang galat. Selanjutnya Kumbhakar dan Lovell 2000 memperluas metode estimasi untuk frontier statistik deterministik dapat dilakukan dengan goal
programming GP, corrected ordinary least Squares COLS, dan modified ordinary least squares MOLS. Afriat 1972 memodifikasi model Aigner dan Chu
1968 dengan mengasumsikan distribusi dua parameter beta untuk dimana
adalah galat, dan diusulkan bahwa model diestimasi dengan maximum likelihood estimation MLE. Richmond 1974 juga mengemukakan
metode modifikasi OLS MOLS, yang membuat asumsi tentang bentuk distribusi inefisiensi non-negatif . Asumsi paling populer adalah setengah normal, yang
memerlukan estimasi satu parameter tambahan, varian distribusi normal yang terpotong diatas nol. Distribusi parameter tunggal lainnya yang sudah banyak
digunakan adalah eksponensial. Menurut prosedur MOLS, model tersebut pertama diestimasi menggunakan OLS dan intersepnya dikoreksi dengan
estimasi untuk mean Ui, diturunkan dari momen residual OLS, dan bukan mengadopsi prosedur penyesuaian COLS Lovell, 1993.
Keuntungan dari penggunaan pendekatan frontier statistik deterministic adalah hasil analisis untuk model menggunakan data sampel yang memadai
dapat diuji kelayakan statistiknya Aigner dan Chu, 1968; Richmond, 1974; Scmidt, 1976. Scmidt 1976 mengemukakan bahwa pendekatan frontier statistik
deterministik mempunyai kelemahan yang sama dengan pendekatan non- parametrik dan pendekatan parametrik deterministik, yaitu terletak pada
diperlukannya bentuk fungsional tertentu dan semua penyimpangan dari frontier dikategorikan sebagai inefisiensi teknis. Pendekatan ini mempunyai asumsi
implisit bahwa semua variasi acak adalah karena inefisiensi teknis dan tidak diperbolehkan adanya variasi acak diluar kontrol petani.
2.3.3. Frontier Statistik Stokastik
Salah satu metode estimasi tingkat produksi dan efisiensi teknis yang banyak digunakan adalah melalui pendekatan frontier statistik stokastik atau
frontier stokastik, yang dalam implementasinya menggunakan stochastic production frontier SPF. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Aigner, et
al., 1977; dan dalam saat yang bersamaan juga dilakukan oleh Meeusen dan van den Broeck 1977. Pengembangan pada tahun-tahun berikutnya banyak
dilakukan seperti oleh Battese dan Coelli 1988, 1992, 1995, Coelli, et al.,
1998, Kumbhakar and Lovell 2000. Pendekatan frontier deterministik yang telah diuraikan terdahulu, ternyata
belum mempertimbangkan kemungkinan-kemungkinan bahwa kinerja usahatani dapat juga dipengaruhi oleh faktor-faktor eksternal yang berada di luar control
petani. Dalam model frontier statistik stokastik atau sering hanya disebut frontier stokastik, output diasumsikan dibatasi dari atas oleh suatu fungsi produksi
stokastik. Pada kasus Cobb-Douglas, model tersebut dalat dituliskan sebagai berikut :
…………..……………………….…………..….2.6 Di mana : simpangan -
terdiri atas dua bagian, yaitu : 1 komponen error simetrik yang memungkinkan keragaman acak dari frontier antar
pengamatan dan menangkap pengaruh kesalahan pengukuran atau kejutan
