1. Jika bentuk a + b dan -a + -b , maka gabungkanlah sejumlah manik-manik ke dalam kelompok manik-manik lain yang warnanya sama.
2. Jika bentuk -a + b dan a + -b , maka gabungkanlah sejumlah manik-manik yang mewakili bilangan positif ke dalam kelompok manik-manik yang
mewakili bilangan negatif. Selanjutnya, lakukan proses penghimpitan penggabungan di antara kedua kelompok manik-manik tersebut agar ada
yang menjadi lingkaran penuh bersifat netral atau nol. Tujuannya untuk mencari sebanyak-banyaknya kelompok manik-manik yang bernilai netral
nol. Melalui proses ini akan menyisakan manik-manik dengan warna tertentu yang merupakan hasil penjumlahannya.
Selanjutnya,dalam melakukan proses pemisahan sejumlah manik-manik keluar dari kelompok manik-manik, maka sama halnya dengan melakukan
pengurangan . Namun demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam
melakukan proses pengurangan, yaitu : Keterangan : - a merupakan bilangan angka pertama yang merupakan anggota
bilangan bulat. - b merupakan bilangan angka kedua yang merupakan anggota
bilangan bulat.
1. Jika bentuk a – b dengan a b atau a – b dengan a b, maka pisahkanlah
manic-manik yang bersifat positif dalam kelompok b sehingga hanya menyisakan manik-manik yang bersifat negatif. Gabungkan kedua kelompok
manik-manik tersebut sehingga berubah menjadi netral nol, Manik-manik yang tidak berpasangan menjadi hasil dari bentuk pengurangan.
2. Selain bentuk yang di atas yaitu adapula dalam bentuk a – -b , -a – b ,
-a – -b , maka sebelum melakukan pengurangan terlebih dahulu letakkan
manic-manik bersifat netral nol sejumlah manic-manik b lalu pisahkan manic-manik sejumlah b dengan melihat b sebagai bilangan negatif atau
positif. Sisanya gabungkan dengan kelompok manik-manik a untuk mencari nilai netral. Manik-manik yang tidak berpasangan menjadi hasil dari bentuk
pengurangan.
Gambar 2.2. Alat Peraga Manik-manik
Cooney, dalam Shadiq mengatakan selain penggunaan alat-alat peraga di atas, hal yang tak kalah penting dalam menanamkan konsep operasi hitung bilangan
bulat adalah mengupayakan adanya proses berabstraksi di dalam kegiatannya. Proses ini biasanya diupayakan pada saat anak telah menyadari adanya kesamaan
di antara perbedaan-perbedaan yang ada atau kesamaan hasil dari proses yang berbeda. Lebih lanjut menurut Djaali, setiap konsep abstrak yang baru dipahami
anak perlu segera diberikan penguatan supaya mengendap, melekat, dan tahan lama tertanam sehingga menjadi miliknya dalam pola pikir maupun tindakannya.
Untuk keperluan inilah diperlukan belajar melalui berbuat dan mengerti dan tidak hanya menekankan pada proses hapalan saja.
b. Proses Kerja Mobil Garis Bilangan Berdasarkan Prinsip Kerjanya
Uraian berikut akan membahas penggunaan alat peraga tersebut berdasarkan prinsip kerja seperti yang telah dipaparkan. Misalkan ingin memperagakan
bentuk-bentuk operasi hitung 3 + -5 dan 3 – 5, dengan menggunakan balok garis
bilangan, maka proses kerja yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
a. 3 + -5 =. . . . ?
1 Tempatkan model pada skala
nol dan
menghadap ke
bilangan positif
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
2 Langkahkan model tersebut
satu langkah
demi satu
langkah maju dari angka 0 sebanyak 3 skala.
Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertama dari operasi
tersebut, yaitu positif 3.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
3 Karena
bilangan penjumlahnya
merupakan bilangan negatif, maka pada
skala 3 tersebut posisi muka model harus dihadapkan ke
bilangan negatif.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
4 Karena operasi hitungnya
berkenaan dengan
penjumlahan, yaitu
oleh bilangan -5 berarti model
tersebut harus dilangkahkan maju dari angka 3 satu
langkah demi satu langkah
sebanyak 5 skala.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
Posisi terakhir dari model pada langkah 4 di atas terletak pada skala -2, dan ini menunjukkan hasil dari 3 + -5. Jadi, 3 + -5 = -2.
b. 3 – 5 =. . . . ?
1 Tempatkan model pada skala
nol dan menghadap ke
bilangan positif.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
2 Langkahkan model tersebut
satu langkah demi satu langkah maju dari angka 0
sebanyak 3 skala untuk menunjukkan
bilangan
pertama, positif 3.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
3 Karena operasi hitungnya
berkenaan dengan
pengurangan, maka langkah- kan model tersebut mundur
dari angka 3 satu langkah demi satu langkah sebanyak
5 skala dengan posisi muka model tetap menghadap ke
bilangan positif.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
Posisi terakhir dari model pada langkah 3 tersebut terletak pada skala -2, dan ini menunjukkan hasil dari 3
– 5. Jadi, 3 – 5 = -2.
Misalkan gambar model yang pada posisi akhir peragaan dari 2 contoh di atas dihilangkan, maka akan terlihat bentuk peragaan garis bilangan dalam proses yang
sebenarnya baik untuk operasi 3 + -5 maupun untuk operasi 3 – 5.
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
3 + -5
-6 -5
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
5 6
3 - 5
Kedua peragaan garis bilangan tersebut memperlihatkan dengan jelas, bahwa terdapat proses yang berbeda untuk menunjukkan hasil dari 3 + -5 dan 3
– 5.
Peragaan garis bilangan untuk bentuk 3 + -5 hasilnya ditunjukkan oleh ujung
anak panah , sedangkan bentuk operasi 3
– 5 hasilnya ditunjukkan oleh ujung pangkal panah
. Berarti, untuk menentukan hasil dari operasi bilangan bulat jika peragaannya menggunakan garis bilangan, bilangan yang ditunjuk sebagai hasil
tidak selalu berorientasi pada ujung anak panah, pangkal panahpun dapat digunakan sebagai penunjuk hasil.
Berdasarkan temuan penulis di lapangan, banyak sekali buku-buku pelajaran matematika di sekolah dasar ataupun guru-guru yang mengajarkannya tidak
memperhatikan dengan benar prinsip-prinsip kerja dari penggunaan garis bilangan. Peragaan-peragaan yang dilakukan selalu berorientasi pada hasil yang
ditunjukkan oleh ujung anak panah. Jika penggunaan garis bilangan selalu berorientasi pada hasil yang ditunjukkan oleh ujung anak panah, maka guru akan
mengalami kesulitan untuk memperagakan bentuk-bentuk operasi hitung seperti : 5
– -6, -3 – -7, -4 – 8, dan sebagainya. Hasil temuan di lapangan, banyak buku-buku pelajaran maupun guru-guru yang mengajarkan bilangan bulat tidak
pernah memberikan contoh penggunaan garis bilangan untuk bentuk operasi a – b
dengan a b atau b 0 yang berdasarkan pada prinsip kerja alat peraga balok garis bilangan tersebut. Kalaupun ada, maka bentuk operasinya telah diubah
terlebih dahulu berdasarkan konsep bahwa a – b = a + -b atau a – -b = a + b.
Hal ini tentu tidak menyelesaikan masalah, karena guru tetap tidak dapat menjawab “kenapa mesti jadi seperti itu dan bagaimana menunjukkan letak
kesamaannya ? “, dan juga menutupi proses sebenarnya dari bentuk operasi di
atas. Dari 2 buah contoh peragaan di atas, dapat dilihat bahwa penggunaan balok
garis bilangan dengan penekanan pada prinsip kerja yang konsisten seperti itu dapat memberi gambaran bagaimana seharusnya menggunakan garis bilangan
untuk menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat dalam tahap pendekatan proses berpikir semiabstrak sebelum sampai pada tahap penyampaian konsep yang
bersifat abstrak.
Selanjutnya, bagaimana
halnya dengan
penggunaan manik-manik?. Apakah dalam prosesnya juga dapat membekali para guru untuk
mengatasi beberapa keluhan dan kebuntuan yang dihadapinya?. Berikut
