Modul Matematika SMP
85
Jumlah luas semua sel yang diarsir tebal pada selimut tabung tersebut adalah mengapa?. Dengan perkataan lain, luas satu lapisan hasil potongan horisontal pada
selimut tabung tersebut adalah . Sedangkan
jumlah luas semua sel yang diarsir tebal pada bola tersebut adalah mengapa?. Atau luas satu lapisan hasil potongan horisontal pada bola tersebut
adalah . Luas satu lapisan pada selimut tabung dan satu
lapisan pada bola tersebut mendekati sama.
Dalam Gambar 67 b
OPQ PAB mengapa?. Akibat kesebangunan antara segitiga OPQ dan segitiga PAB, yaitu
BAP OPQ dan . Dari sketsa
ukuran-ukuran dalam Gambar 67 a, kita dapat mensubstitusikannya dalam
perbandingan akibat kesebangunan antara OPQ dan PAB. Kita peroleh
. Dari perbandingan tersebut kita peroleh . Jika kedua ruas
perbandinga n tersebut dikalikan dengan rR , maka kita memperoleh
. Dan jika kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan 2
, maka kita mendapatkan . Ruas kiri persamaan terakhir tersebut adalah luas satu lapisan pada
bola, sedangkan ruas kanan persamaan tersebut adalah luas satu lapisan pada selimut tabung. Oleh karena itu kita telah menunjukkan bahwa:
. Misalkan terdapat n lapisan dari pemotongan-pemotongan pada bola dan selimut
tabung. Urutan perhitungannya sebagai berikut:
Jadi suatu bola yang berjari-jari r, luas bola tersebut adalah: dalam
satuan luas
86
3. Volume Bangun Ruang Bidang sisi Lengkung
a. Volume Tabung
Perhitungan volume tabung identik dengan perhitungan volume prisma mengapa?. Volume tabung yang bidang alasnya berjari-jari r dan tingginya t
dirumuskan: dalam satuan volume.
Perhitungan volume tabung tersebut berlaku untuk tabung-tegak tabung- lingkaran-tegak.
b. Volume Kerucut
Sebuah kerucut terbentuk serupa dengan pembentukan limas, sehingga perhitungan volume kerucut identik dengan perhitungan volume limas. Suatu kerucut dengan
jari-jari bidang alasnya r dan tinggi kerucut t, maka perhitungan volume kerucut, yaitu:
dalam satuan volume
Atau , karena
dalam satuan volume
c. Volume Bola
Volume bola adalah banyak kubus satuan yang dapat memenuhi ruang-dalam bola. Meskipun demikian perhitungan volume bola dapat melibatkan jari-jarinya.
Volume suatu bola adalah hasilkali dan pangkat-tiga jari-jarinya.
Misalkan pada suatu bola berjari-jari r lingkaran-lingkaran besar dan lingkaran kecil
dibuat seperti dalam Gambar 68. Perpotongan-perpotongan antara lingkaran-
lingkaran tersebut sedemikian, sehingga pada bola terbentuk sel-sel dan setiap sel berbentuk mendekati daerah segiempat. Setiap titik sudut sel tersebut merupakan
ujung jari-jari bola tersebut. Jadi bola tersebut dipotong-potong menjadi juring- juring bola, dan setiap juring bola mendekati limas segiempat.
Modul Matematika SMP
87
Perhitungan volume bola dalam hal ini adalah perhitungan volume terhadap bola pejal bola dan semua titik di dalam ruangnya. Oleh karena itu volume bola yang
kita tentukan nilainya sama dengan jumlah volume semua juring bola yang terjadi.
Gambar 68. Sketsa Perhitungan Volume Bola
Dari sketsa yang disajikan dalam Gambar 68, jika juring bola yang terbentuk
sebanyak n, maka kita susun perhitungan volume bola, yaitu:
Tembereng juring bola yang kita buat mendekati daerah segiempat. Oleh karena itu setiap juring bola yang terjadi mendekati limas segiempat dengan garis pelukisnya
berupa jari-jari bola. Selanjutnya perhitungan volume bola yang kita susun, yaitu:
, karena gabungan semua bidang alas limas tersebut merupakan bola. Jika juring-juring bola atau limas-limas
tersebut tak terhitung banyaknya, maka tinggi limas tersebut mendekati jari-jari bola. Dengan demikian, perhitungan volume bola selanjutnya, yaitu:
, karena .
Sehingga . Jadi suatu bola yang berjari-jari r, volume bola tersebut
adalah:
3 3
4
r V
bola
dalam satuan volume.
Semua juring bola dari sebuah bola
