Jaring-jaring dan Luas Permukaan Tabung
84
a b
c d
Gambar 66. Bola dalam Tabung Gabungan bola dan selimut tabung tersebut, kemudian dipotong-potong tegak lurus
bidang alas tabung dan melalui pusat bola. Potongan-potongan berikutnya sejajar dengan bidang alas tabung. Kedua macam potongan tersebut tergambar seperti
Gambar 66 b. Jika bola dan selimut tabung tersebut dipisahkan, maka hasil potongan-potongan pada bola tergambar dalam Gambar 66 c dan hasil potongan-
potongan pada selimut tabung tergambar dalam Gambar 66 d. Arsiran yang dibuat sebal dalam Gambar 66, dimaksudkan sebagai satu lapisan
hasil potongan-potongan horisontal pada bola dan selimut tabung untuk menganalisa luas keduanya. Perhitungan luas bola dianalisis melalui sel-sel dalam
lapisan tersebut. Setiap sel dalam satu lapisan yang terdapat pada selimut tabung setara dengan daerah persegipanjang. Sedangkan setiap sel dalam satu lapisan yang
terdapat pada bola mendekati daerah persegipanjang juga. Sketsa ukuran sel-sel
tersebut disajikan dalam Gambar 67. Dalam gambar tersebut, menunjukkan
tinggi sel satu lapisan pada selimut tabung, menunjukkan tinggi sel satu lapisan
pada bola, menunjukkan jari-jari lingkaran besar pada bola yang samadengan jari-
jari bola dan bidang alas tabung, dan menunjukkan jari-jari lingkaran kecil pada
bola.
a b
Gambar 67. Sketsa Ukuran Sel-sel Hasil Pemotongan-pemotongan pada Bola dan Selimut Tabung
Modul Matematika SMP
85
Jumlah luas semua sel yang diarsir tebal pada selimut tabung tersebut adalah mengapa?. Dengan perkataan lain, luas satu lapisan hasil potongan horisontal pada
selimut tabung tersebut adalah . Sedangkan
jumlah luas semua sel yang diarsir tebal pada bola tersebut adalah mengapa?. Atau luas satu lapisan hasil potongan horisontal pada bola tersebut
adalah . Luas satu lapisan pada selimut tabung dan satu
lapisan pada bola tersebut mendekati sama.
Dalam Gambar 67 b
OPQ PAB mengapa?. Akibat kesebangunan antara segitiga OPQ dan segitiga PAB, yaitu
BAP OPQ dan . Dari sketsa
ukuran-ukuran dalam Gambar 67 a, kita dapat mensubstitusikannya dalam
perbandingan akibat kesebangunan antara OPQ dan PAB. Kita peroleh
. Dari perbandingan tersebut kita peroleh . Jika kedua ruas
perbandinga n tersebut dikalikan dengan rR , maka kita memperoleh
. Dan jika kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan 2
, maka kita mendapatkan . Ruas kiri persamaan terakhir tersebut adalah luas satu lapisan pada
bola, sedangkan ruas kanan persamaan tersebut adalah luas satu lapisan pada selimut tabung. Oleh karena itu kita telah menunjukkan bahwa:
. Misalkan terdapat n lapisan dari pemotongan-pemotongan pada bola dan selimut
tabung. Urutan perhitungannya sebagai berikut:
Jadi suatu bola yang berjari-jari r, luas bola tersebut adalah: dalam
satuan luas