Modul Matematika SMP
13
e. Rotasi pada bidang koordinat
Pada modul ini rotasi pada bidang koordinat hanya disajikan yang pusat rotasinya titik asal O saja dan sudut-sudut khusus, karena dengan sembarang sudut
diperlukan trigonometri.
f. Rumus hubungan koordinat titik hasil dan titik semula, dengan pusat
perputaran titik asal koordinat O, Perhatikan Gambar 12 di bawah ini.
Gambar 12. Rotasi pada koordinat Diperoleh hasil sebagai berikut.
1 Sudut putar 90
o
, maka x = – y dan y = x
2 Sudut putar – 90
o
atau 270
o
Jika pusat putarannya O0, 0, maka: x
= y dan y = –x 3 Sudut putar 180
o
; maka x = – x dan y = – y
Untuk setiap titik Tx, y yang dirotasikan dengan R
a,b,180
diperoleh hasil: x
= –x + 2a
x + x = 2a dan y = –y + 2b y + y = 2b. Karena a, b adalah pusat rotasi dan ternyata bahwa a, b =
2 2
,
y y
x x
, maka hal ini menunjukkan bahwa setiap titik x
y y
x y
Ax, y A
2
y, x
M
F X
O Y
A
3
x, y
A
4
y, x
90
o
180
o
270
o
x
x x
y
14
dan bayangannya simetris terhadap pusat rotasi setengah putaran. Karena itu maka
rotasi setengah putaran sering disebut juga sebagai pencerminan terhadap sebuah titik.
Jika di dalam sebuah bangun ada titik P sehingga untuk setiap titik T pada bangun itu ada titik lain T
sedemikian sehingga titik P merupakan titik tengah TT bangun
itu dikatakan memiliki simetri titik. Titik P disebut titik simetri. Persegi dan belah
ketupat adalah contoh bangun yang memiliki simetri titik. Jadi, dengan memilih
o
adalah sudut-sudut khusus diperoleh antara lain bahwa koordinat bayangan hasil rotasi titik Ax, y terhadap titik O adalah sebagai berikut:
i. R
O,90
: Ax, y A–y, x
ii. R
O,180
: Ax, y A–x, – y
iii. R
O, 270
: Ax, y Ay, – x
Contoh 1 Tentukan koordinat titik hasilnya jika T4,
2 diputar 1 90, 2 180, dan 3 270
. Jawab
i. R
O,90
: Ax, y A–y, x
maka 4, 2 A 2, 4 atau A 2, 4
ii. R
O,180
: Ax, y A–x, – y maka 4,
2 A 4,2 atau A 4, 2 iii.
R
O, 270
: Ax, y Ay, – x` maka 4,
2 A 2, 4 atau A 2, 4 Contoh 2
Bayangan ABC oleh suatu rotasi adalah AB
C dengan A2, 3, B3, 2 dan C
2, 5. Jika koordinat titik A adalah 3, 2, tentukan koordinat titik B dan C. Jawab:
A3, 2 A2, 3. Secara umum Tx, y Ty, x. Rotasinya R
O,90
. Untuk memperoleh titik semula harus diputar balik , yaitu R
O, 90
yang ekuivalen dengan R
O,270
: P x, y Py, – x, sehingga B3, 2 B2, 3 dan C2, 5. C5, 2
Jadi koordinat adalah B 2, 3 dan koordinat C adalah 5, 2.