III-19
3.5.4. Logical Consistency
Logical Consistency dapat dianggap sebagai prinsip rasionalitas AHP. Ada tiga makna yang terkandung dalam konsep konsistensi, pertama adalah
objek-objek yang serupa dapat dikelompokkan sesuai dengan keseragaman dan relevansi. Kedua adalah matriks perbandingan bersifat resiprokal, artinya jika A1
adalah lebih penting dari A2, maka A2 adalah setengah kali lebih penting dari A1. Ketiga, hubungan antar dua elemen diupayakan bersifat transitif. Contohnya, jika
sepak bola dinilai dua kali lebih menarik dibanding basket dan basket tiga kali lebih menarik dibanding tinju, maka sepak bola harus dinilai enam kali lebih
menarik dibanding tinju. Bila tidak demikian, maka terjadi intransitivitas. Jadi, rasionalitas yang dimaksud AHP bukan sekedar transitivitas.
3.6. Hubungan Prioritas sebagai Eigen Vektor terhadap Konsistensi
Terdapat banyak cara untuk mencari vektor prioritas dari matriks pairwise comparison. Tetapi penekanan pada konsistensi menyebabkan digunakan rumus
eigen value. Diketahui elemen-elemen dari suatu tingkat dalam suatu hirarki
adalahC
1
,C
2
,...,C
n
dan bobot pengaruh mereka adalah w
1
,w
2
,...,w
n
. Misalkan a
ij
= w
1
w
j
menunjukan kekuatan C
1
jika dibandingkan dengan C
j
. Matriks dari angka- angka aij ini dinamakan matriks pairwise comparison, yang diberi simbol A.
Telahdisebutkan bahwa A adalah matriks reciprocal, sehingga a
ij
= 1a
ij
. Jika penilaian sempurna pada setiap perbandingkan, maka a
ij
= a
ij
, a
jk
untuk semua i, j, k danmatriks A dinamakan konsisten.
III-20
Kemudian ikuti manipulasi matematik berikut : a
ij
= w
1
w
2
dimana i,j = 1,...,n a
ij
= w
j
w
i
= 1 dimana i, j = 1,...,n konsekuensinya, ∑
a
ij
. w
j
. 1w
j
= n
� � =1
dimana i = 1,...,n atau ∑
a
ij
. w
j
. = nw
1 �
� =1
dimana i = 1,...,n. Dalam bentuk matriks : A
w
= n
w
Rumus ini menunjukkan bahwa w merupakan eigen vector dari matriks A dengan eigen value n. Jika aij tidak didasarkan pada ukuran pasti seperti
w
1
,...,w
n
,tetapi pada penilaian subyektif, maka aij akan menyimpang dari rasio w
i
w
j
yangsesungguhnya dan akibatnya A
w
= n
w
tak dipenuhi lagi. Dua kenyataan dalam teori matriks yang memberikan kemudahan.
Pertama jika z
1
,...,z
n
adalah angka-angka yang memenuhi persamaan A
w
= Z
w
dimana Z merupakan dengan eigen value dari matriks A, dan jika a
ij
= 1 untuk i, maka :
� Z
j
= n
� � =1
Karena itu, jika A
w
= Z
w
dipenuhi, maka semua eigen value sama dengan nol, kecuali eigen value yang satu, yaitu sebesar n. Maka jelas dalam
kasuskonsisten, n merupakan eigen value A terbesar. Kedua, jika salah satu aij dari matriks reciprocal A berubah sangat kecil,
maka diagonal matriks A terdiri dari aij = 1 dan jika A konsisten, maka perubahan kecil pada aij menahan eigen value terbesar, Zmaks, dekat ke n, dan eigen value
sisanya dekat ke nol. Karena itu persoalannya adalah jika A merupakan matriks
Kategori