meningkatkan prestasi mereka. Tujuan paling utama adalah dipenuhinya kriteria keberhasilan minimal yang diharapkan misalnya
75 taraf penguasaan. Bila ternyata masih belum berhasil maka hendaknya dilakukan kembali diagnosis, prognosis dan pembelajaran
remedial berikutnya. Dan demikan daursiklus ini akan berulang terus.
E. Faktorisasi Bentuk Aljabar Heru Lisda : 2009
1. Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien antara
bentuk-bentuk yang sejenis. Contoh : Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
4x + y + 2x dan 3a
2
b – 5ab – 2a
2
b Penyelesaian : - 4x + y + 2x = 4x + 2x + y = 6x + y
- 3a
2
b – 5ab – 2a
2
b = 3a
2
b – 2a
2
b – 5ab = a
2
b – 5ab
2. Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian
Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat sebagai berikut: a.
Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a b.
Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + b + c = a + b + c c.
Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × a d.
Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × b × c = a × b × c e.
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × b + c = a×b + a×c
f. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × b – c =
a×b - a×c Pada perkalian antarbentuk aljabar, dapat menggunakan sifat distributif
sebagai konsep dasarnya. a.
Perkalian Bentuk Satu dengan Bentuk Dua atau Bentuk Banyak Contoh :
2 4
4 2
4 y
x x
x y
x x
xy x
8 4
2
2
8 3
8 8
2 3
8
2 2
ab ab
ab a
ab ab
ab a
2
5 8
2
ab ab
a
2 8
5 8
2
ab a
ab a
2 2
2
16 40
b a
ab
b. Perkalian Bentuk Dua dengan Bentuk Dua
Misalkan kita mempunyai bentuk dua binomial yang berbentuk a+b dan c+d. Langkah-langkah penyelesaian yang harus dilakukan
adalah:
a + b c + d = ac + ad + bc + bd
Misalkan kita mempunyai bentuk dua x+y, maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
x + y
2
= x + y x + y pengkuadratan
= x
2
+ xy +yx + y
2
sifat komutatif = x
2
+2xy +y
2
c. Selisih Dua Kuadrat
x + yx – y = x + y x – y
selisih dua kuadrat = x
2
– xy + yx + y
2
sifat komutatif = x
2
+ y
2
3. Pemfaktoran Bentuk Aljabar
Pemfaktoran bentuk aljabar yaitu menyatakan bentuk penjumlahan bentuk-bentuk ke dalam bentuk perkalian atau faktor.
a. Hukum distributif dan faktor persekutuan aljabar
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari
faktor persekutuan terbesar dari setiap bentuk aljabar. Contoh :
4
1 2
8 2
2 2
2
y x
y x
x
FPB
2
2x
dan y
x
2
8 adalah
2
2x
5
3 15
3
2 2
yz x
xy z
xy y
x
FPB y
x
2
3 dan
z xy
2
15 adalah
xy 3
b. Faktorisasi Bentuk x
2
+ 2xy + y
2
Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu : 1
Koefisien peubah pangkat dua x
2
sama dengan 1. 2
Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x. Contoh :
Faktorkan bentuk kuadrat sempurna dari x
2
+ 8x + 16
Penyelesaian : Konstanta
2 2
4 8
2 1
,
maka
2 2
2
4 8
16 8
x
x x
x
4 4
4
2
x
x x
Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah dengan
mengubah bentuk 2xy menjadi penjumlahan dua bentuk xy + xy, kemudian bentuk-bentuk tersebut difaktorkan.
Contoh : Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x
2
+ 8x + 16 Penyelesaian :
x
2
+ 8x + 16 = x
2
+ 4x + 4x + 16 = x
2
+ 4x + 4x + 16 = x x + 4 + 4x + 4
= x + 4 x + 4 = x + 4
2
c. Faktorisasi Bentuk Kuadrat ax
2
+ bx + c a, b, c adalah bilangan real, a, b merupakan koefisien dan c adalah
konstanta. Sedangkan yang menjadi variabel adalah x
2
dan x. 1
Memfaktorkan bentuk ax
2
+ bx + c, jika a = 1 Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus
memperhatikan bentuk perkalian bentuk x + y dengan x + z berikut :
x + yx + z = xx + z + yx + z sifat distributif
= x.x+x.z+y.x+y.z sifat distributif
= x
2
+ xz + xy + yz = x
2
+ y + zx + yz Contoh :
Faktorkanlah bentuk aljabar dari x
2
+ 7x + 12 Penyelesaian:
x
2
+ 7x + 12 = x
2
+ y + zx + yz y + z = 7
yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3.
Jadi, bentuk kuadrat dari x
2
+ 7x + 12 adalah: x+yx+z = x + 3x + 4
atau x+yx+z = x + 4x + 3. 2
Memfaktorkan bentuk ax
2
+ bx + c, jika a 1
Telah diketahui bahwa pemfaktoran bentuk ax
2
+ bx + c, jika a = 1 adalah x + yx + z. Dengan menurunkan rumus tersebut maka
dapat diperoleh pemfaktoran ax
2
+ bx + c untuk a 1. Perhatikan
pemfaktoran berikut ini ax
2
+ bx + c =
a c
x a
b x
2
bagi setiap bentuk dengan a selanjutnya cari bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya sama
dengan
a b
dan jika dikalikan hasilnya sama dengan
a c
.
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah
a p
y dan
a q
, maka akan
diperoleh faktor
a q
x a
p x
, sehingga :
a
a b
a q
a p
a b
a q
p
,
maka p + q = b
b
a c
a q
a p
a b
a pq
2
,
maka pq = ac
Jadi, faktor dari ax
2
+ bx + c untuk a 1 adalah a
a q
x a
p x
, dimana bilangan p, q harus memenuhi syarat a dan b, yaitu p +
q = b dan pq = ac. Contoh :
Faktorkanlah bentuk aljabar 2x
2
+ 3x – 14
Penyelesaian: 2x
2
+ 3x – 14 = a
a q
x a
p x
Berdasarkan soal diperoleh nilai a = 2, b = 3, dan c = - 14, sehingga
pq = ac = –28
p + q = b = 3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7
dan q = –4.
Jadi, Untuk p = –4 dan q = 7
2x
2
+ 3x – 14 = 2
7 2
2 2
7 2
4
x x
x x
Untuk p = 7 dan q = -4 2x
2
+ 3x – 14 = 2
2 7
2 2
4 2
7
x x
x x
Jadi, faktor dari 2x
2
+ 3x – 14 adalah
2 7
2
x
x .
4. Pecahan dalam Bentuk Aljabar
