125
Peluang
e. Tentukan peluang kejadian C dan D.
f. Apakah kejadian C dan kejadian D saling bebas stokastik?
g. Tentukan peluang kejadian A dan D.
h. Apakah kejadian A dan kejadian D saling bebas stokastik?
5. Peluang Kejadian Bersyarat
Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan syarat B
adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh persyaratan kejadian B telah muncul. Kejadian
munculnya A dengan syarat B, ditulis AB. Demikian juga sebaliknya, kejadian B dengan syarat A, ditulis BA adalah
kejadian munculnya B dengan syarat kejadian A telah muncul.
Adapun peluang kejadian bersyarat dapat dirumuskan sebagai berikut.
a. Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian
B telah muncul adalah
P AB =
B P
B A
P E
, dengan PB 0. b.
Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A
telah muncul adalah P
BA = A
P B
A P
E , dengan PA 0.
Agar kalian lebih memahami peluang kejadian bersyarat, simaklah contoh-contoh berikut ini.
Contoh:
1. Dua kubus bernomor dilempar secara bersama-sama. Jika jumlah angka yang
muncul dalam kedua kubus adalah 6, tentukan peluangnya bahwa salah satu kubus muncul angka 2.
Penyelesaian:
Misalkan A adalah kejadian jumlah angka yang muncul dalam kedua kubus adalah 6 dan B adalah kejadian salah satu kubus muncul angka 2.
Oleh karena itu, anggota-anggota A, B, dan B
A E
adalah sebagai berikut. A
= {1, 5, 2, 4
, 3, 3, 4, 2
, 5, 1} B
= {2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4
, 2, 5, 2, 6, 1, 2, 3, 2, 4, 2
, 5, 2, 6, 2} B
A E
= {2, 4, 4, 2} Berarti, PBA =
A P
B A
P E
=
36 5
36 2
=
5 2
.
126
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
2. Dua kubus bernomor dilemparkan secara bersama-sama. Jika salah satu kubus
muncul angka 1, tentukan peluang bahwa jumlah angka yang muncul pada kedua kubus adalah 4.
Penyelesaian:
Misalkan A adalah kejadian jumlah nomor yang muncul dalam kedua kubus adalah 4 dan B adalah kejadian salah satu kubus muncul nomor 1.
Oleh karena itu, anggota-anggota A, B, dan B
A E
adalah sebagai berikut. A
= { 1, 3
, 2, 2, 3, 1
} B
= {1, 1, 1, 2, 1, 3
, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 2, 1, 3, 1
, 4, 1, 5, 1, 6, 1} B
A E
= {1, 3, 3, 1} Berarti, PAB =
B P
B A
P E
=
2 36
11 36
= .
11 2
6. Aturan Perkalian untuk Kejadian Bersyarat
Misalkan terdapat sembarang bilangan a, b, dan c, dengan c
0. Kita masih ingat jika a =
c b
, berlaku b = a
×
c. Di samping itu, di dalam operasi irisan dua himpunan A dan B
berlaku B
A E
= A
B E
. Dengan demikian, rumus peluang kejadian bersyarat di atas dapat ditulis sebagai berikut.
a. Karena PAB =
B P
B A
P E
, dengan PB 0 maka P
A B
E = PB
×
PAB b.
Karena PBA =
P B A
P A E
, dengan PA 0 dan
B A
A B
E = E
maka P A
B E
= PA
×
PBA Aturan tersebut dikenal dengan aturan perkalian untuk
kejadian bersyarat . Secara lebih lengkap aturan itu berbunyi
sebagai berikut. Jika kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian
bersyarat, peluang terjadinya A dan B adalah P A
B E
= PB
×
PAB P A
B E
= PA
×
PBA Misalkan kejadian A dan B dua kejadian yang saling bebas
stokastik, artinya terjadi atau tidaknya kejadian A tidak bergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B dan sebaliknya,
berlaku PAB = PA dan PBA = PB. Jadi, untuk dua
127
Peluang
kejadian saling bebas stokastik, aturan perkalian di atas berubah menjadi berikut ini.
Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, berlaku
A B
P E
= PB
×
PAB = PB
×
PA B
A P
E = PA
×
PBA = PA
×
PB Aturan ini ternyata sesuai dengan kesimpulan yang telah
kita peroleh pada saat membahas kejadian saling bebas stokastik di depan.
Sebuah kotak berisi 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna putih. Dua kelereng diambil secara acak berturut-turut dari kotak tersebut. Tentukan peluang kedua
kelereng yang terambil berwarna merah jika: a.
pengambilan kelereng dilakukan dengan pengembalian; b.
pengambilan kelereng dilakukan tanpa pengembalian.
Penyelesaian:
Misalkan A adalah kejadian pengambilan pertama diperoleh kelereng berwarna merah dan B adalah kejadian pengambilan kedua juga diperoleh kelereng berwarna merah. Oleh
karena itu, peluang diperoleh dua kelereng berwarna merah adalah B
A P
E .
a. Pengambilan kelereng dilakukan dengan pengembalian artinya sebelum mengambil
kelereng yang kedua, kelereng yang diambil pada pengambilan pertama dikembalikan ke dalam kotak.
Dengan demikian, PA =
8 5
dan PBA = PB =
8 5
. Berarti,
B A
P E
= PA
×
PB =
8 5
× 8
5
=
64 25
. b.
Pengambilan kelereng dilakukan tanpa pengembalian artinya kelereng yang sudah terambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan ke dalam kotak. Oleh karena
itu, setelah terambil 1 kelereng berwarna merah, di dalam kotak tinggal 7 kelereng dan
yang berwarna merah tinggal 4 buah sehingga diperoleh PA =
8 5
dan PBA =
7 4
. Berarti,
B A
P E
= PA
×
PBA =
8 5
× 7
4
=
56 20
.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Suatu kantong berisi 6
bola hitam dan 3 bola putih. Diambil secara
acak 2 kali berturut- turut masing-masing
satu tanpa pengem- balian. Peluang men-
dapatkan keduanya bola hitam adalah ....
a. 6
9 d.
5 12
b. 5
8 e.
8 12
c. 10
12
Contoh:
128
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
1. Dua kubus bernomor dilempar satu kali. Tentukan peluang kejadian muncul jumlah
nomor-nomor kedua kubus adalah 10 jika a.
nomor 5 muncul pada kubus pertama; b.
paling tidak nomor 5 muncul pada sebuah kubus. 2.
Dua kubus bernomor dilempar satu kali. Jika nomor yang muncul pada kedua kubus berbeda, tentukan peluang kejadian bahwa
a. jumlah nomor-nomor kedua kubus adalah 6;
b. jumlah nomor-nomor kedua kubus lebih kecil atau sama dengan 4.
3. Dua bilangan dipilih secara acak dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.
Jika jumlah bilangan-bilangan itu genap, tentukan peluang kejadian bahwa kedua bilangan yang terpilih itu ganjil.
4. Dalam sebuah kotak yang berisi 4 kelereng berwarna merah dan 8 kelereng berwarna
putih. Dua kelereng diambil secara acak berturut-turut dari kotak tersebut dengan pengembalian. Tentukan peluang bahwa
a. kedua kelereng yang terambil berwarna putih;
b. kedua kelereng yang terambil berwarna merah.
Coba kalian kerjakan kembali soal ini, tetapi pengambilan dilakukan dengan tanpa pengembalian.
5. Di dalam sebuah kotak terdapat 5 bola berwarna merah, 3 bola berwarna biru, dan
2 bola berwarna kuning. Sebuah bola diambil dari dalam kotak itu. a.
Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah bola berwarna biru. b.
Jika bola yang terambil tidak dikembalikan, kemudian diambil sebuah bola lagi, tentukan peluang bahwa yang terambil adalah bola berwarna biru pada
pengambilan pertama dan bola berwarna merah pada pengambilan kedua. c.
Pada soal b, tentukan peluang bola yang terambil adalah bola berwarna kuning pada pengambilan pertama dan bola berwarna biru pada pengambilan kedua.
6. Dua kartu diambil dari satu set kartu bernomor 1 sampai dengan 20 satu per satu
tanpa pengembalian. Tentukan peluang bahwa kedua kartu yang terambil adalah a.
kartu pertama bilangan prima dan kedua bilangan genap; b.
kartu pertama bilangan paling besar 4 dan kedua bilangan paling kecil 15. Coba kalian kerjakan permasalahan berikut.
Suatu kotak memuat 20 buah jeruk, 5 di antaranya rasanya manis, sisanya masam. Tentukan peluang bahwa suatu sampel dengan
2 kali pengambilan yang dilakukan secara acak, terambil tepat satu buah jeruk yang rasanya manis jika
a.
pengambilan dengan pengembalian; b.
pengambilan dengan tanpa pengembalian.
Berpikir Kritis
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Uji Kompetensi 10
Kerjakan di buku tugas
129
Peluang
Coba kalian cari informasi yang berkaitan dengan peluang di internet atau perpustakaan, baik berupa tokoh-tokoh peluang
maupun hal-hal yang berhubungan dengan materi peluang agar wawasan kalian bertambah.
1. Aturan pengisian tempat yang tersedia.
Misalkan suatu kegiatan dapat dilakukan dengan n
1
cara yang berlainan, kegiatan yang kedua dengan n
2
cara yang berlainan, kegiatan ketiga dengan n
3
cara yang berlainan, …, dan kegiatan ke-r dengan n
r
cara yang berlainan. Banyaknya cara untuk melakukan r kegiatan itu adalah n
1
×
n
2
×
n
3
×
…
×
n
r
cara. 2.
Faktorial dari bilangan asli n ditulis n dan dirumuskan dengan n
= n
×
n – 1
×
n – 2
×
…
×
2
×
1. 3.
Permutasi r unsur dari n unsur r n dirumuskan dengan Pn, r =
r n
n .
4. Permutasi n unsur dengan n
1
unsur yang sama dari jenis pertama, n
2
unsur yang sama dari jenis kedua, ..., dan n
r
yang sama dari jenis ke-r dirumuskan dengan n
... n
n n
P
r 2
1
× ×
× =
. 5.
Permutasi siklis dari n unsur dirumuskan dengan P
siklis
n = n – 1 6.
Kombinasi r unsur dari n unsur r n dirumuskan dengan Cn, r =
r n
r n
× .
7. Peluang kejadian A dalam ruang sampel S adalah
P A =
S n
A n
. 8.
Nilai PA berkisar dari 0 sampai 1 atau 0 PA
1. 9.
Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan dirumuskan F
har
A = n
×
PA. 10. Jika komplemen kejadian A ditulis A
c
, peluangnya adalah PA
c
= 1 – PA.
Perhatikan kembali alat-alat yang sering digunakan dalam perhitungan peluang.
Menurutmu, apakah dengan alat-alat itu dapat
Refleksi
Rangkuman
menimbulkan persepsi bahwa belajar peluang memiliki arti belajar berjudi? Jelaskan.
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
