99
Peluang
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dari n unsur itu ditulis dengan notasi P
siklis
n dan dirumuskan dengan
P
siklis
n =
n n
= n – 1
1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 6 orang dan tempat duduk mereka disusun melingkar.
Berapakah banyaknya susunan cara duduk yang mungkin?
Penyelesaian:
Karena tempat duduk disusun melingkar, hal ini merupakan permutasi siklis sehingga banyaknya permutasi siklis dari 6 unsur tersebut adalah
P
siklis
6 = 6 – 1 = 5 = 120. Jadi, susunan cara duduk yang mungkin ada 120 cara.
2. Seorang pedagang gantungan kunci meletakkan
dagangannya seperti pada Gambar 2.7. Berapa banyak cara pedagang itu meletakkan dagangannya?
Penyelesaian:
Cara pedagang itu meletakkan 4 macam dagangannya yang berupa gantungan kunci adalah permutasi siklis dari 4 unsur
sehingga P
siklis
4 = 4 – 1 = 3
= 3
×
2
×
1 = 6
Jadi, banyak cara pedagang itu meletakkan dagangannya ada 6 cara.
Gambar 2.7
D A
B C
Contoh:
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Banyak cara 4 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan
dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar apabila setiap orang perempuan duduk di antara dua orang laki-
laki.
2. Berapa banyak cara 10 orang dapat duduk pada sekeliling
meja apabila ada 2 orang yang harus duduk selalu berdampingan?
3. Empat anak bernama Arma, Bunga, Cinta, dan Duta belajar
bersama dengan duduk melingkar. a.
Sebutkan semua susunan yang mungkin dari 4 anak tersebut.
b. Tentukan banyaknya susunan tersebut.
100
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
1. Dalam suatu rapat, 8 orang yang hadir duduk dengan posisi melingkar. Berapa
banyak posisi duduk yang dapat terjadi? 2.
Jika 6 biji permata yang berlainan warna disusun menjadi sebuah gelang, berapa banyak cara penyusunan keenam biji permata tersebut?
3. Pada sebuah permainan untuk anak-anak, masing-masing anak duduk sehingga
membentuk lingkaran. Jika 11 anak ikut dalam permainan tersebut, berapa banyak susunan cara duduk anak-anak yang dapat terjadi?
4. Jika 5 orang bergandengan tangan membentuk lingkaran, berapa banyak susunan
orang yang bergandengan tangan tersebut dapat terjadi? 5.
Jika sembilan kunci ruangan diletakkan pada sebuah gantungan yang bentuknya lingkaran, berapa banyak cara meletakkan kunci pada gantungan itu?
3. Kombinasi
Misalkan terdapat 5 orang siswa, yaitu Ani, Betty, Cici, Dedi, dan Endah. Untuk mengikuti lomba cerdas cermat dipilih 3 orang
dengan diseleksi. Berapa macam susunan yang mungkin dapat dibentuk dari 5 orang tersebut?
Dari ilustrasi tersebut objek percobaannya adalah 5 orang siswa, yaitu O = {Ani, Betty, Cici, Dedi, Endah} dan seleksi
untuk menentukan 3 orang disebut cara percobaan. Adapun hasil- hasil percobaannya dapat digambarkan sebagai berikut.
Susunan yang terbentuk Cici
1 Ani – Betty – Cici
Dedi 2
Ani – Betty – Dedi Endah
3 Ani – Betty – Endah
Dedi 4
Ani – Cici – Dedi Endah
5 Ani – Cici – Endah
Endah 6
Ani – Dedi – Endah Dedi
7 Betty – Cici – Dedi
Endah 8
Betty – Cici – Endah Endah
9 Betty – Dedi – Endah
Endah 10
Cici – Dedi – Endah Dedi
Dedi Cici
Dedi Cici
Betty
Ani
Betty
Cici
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Seorang murid diminta
mengerjakan 5 dari 6 soal ulangan, tetapi
soal 1 harus dipilih. Banyak pilihan yang
dapat diambil murid tersebut adalah ....
a. 4
d. 10 b. 5
e. 20 c. 6
Soal UMPTN, Mate- matika Dasar, 1998
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Sebuah panitia yang
beranggota 4 orang akan dipilih dari kum-
pulan 4 pria dan 7 wanita. Bila dalam
panitia tersebut di- haruskan ada paling
sedikit 2 wanita, maka banyaknya cara memilih
ada .... a. 1.008
d. 301 b. 672
e. 27 c. 330
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2001
101
Peluang
Dari diagram tersebut tampak bahwa terdapat 10 susunan yang mungkin dibentuk untuk mengikuti lomba cerdas cermat.
Apabila kalian perhatikan dengan saksama dalam masalah di atas, susunan Ani – Betty – Cici tidak dibedakan dengan susunan
Ani – Cici – Betty atau Betty – Ani – Cici atau Betty – Cici – Ani atau Cici – Ani – Betty atau Cici – Betty – Ani. Karena dari
keenam susunan tersebut yang terpilih tetap 3 orang, yaitu Ani, Betty, dan Cici. Jadi, dalam hal ini perhitungan susunan tidak
memerhatikan urutan.
Banyaknya susunan yang terdiri atas 3 orang dipilih dari 5 orang tersebut selanjutnya dikenal sebagai banyaknya kombinasi
3 unsur yang diambil dari 5 unsur yang berbeda, ditulis C5, 3. Adapun nilainya dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan A :
Ani, B : Betty, C : Cici, D : Dedi, dan E : Endah.
Macam Kombinasi Elemen Kombinasi Dipermutasikan
Banyak Permutasi
ABC ABC
, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 3
ABD ABD
, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA 3
ABE ABE
, AEB, BAE, BEA, EAB, EBA 3
ACD ACD
, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA 3
ACE ACE
, AEC, CAE, CEA, EAC, ECA 3
ADE ADE
, AED, DAE, DEA, EAD, EDA 3
BCD BCD
, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB 3
BCE BCE
, BEC, CBE, CEB, EBC, ECB 3
BDE BDE
, BED, DBE, DEB, EBD, EDB 3
CDE CDE
, CED, DCE, DEC, ECD, EDC 3
C 5, 3 = 10
P 5, 3 = 5
×
4
×
3 = 60 10
×
3 Perhatikan bahwa P5, 3 = 5
×
4
×
3 = 10
×
3 = C5, 3
×
3 sehingga C5, 3 =
3 3
, 5
P atau
5 5 3
3 5
3 5 3
= ×
. Secara umum, suatu kombinasi r unsur dari n unsur yang
berbeda adalah semua susunan yang mungkin dari r unsur,
diambil dari n unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. Pada buku ini banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n
unsur yang berbeda ini dinotasikan dengan atau Cn, r. Jadi,
dari uraian di atas diperoleh bahwa Cn, r = r
n r
n ×
. Dengan demikian, dapat kita simpulkan sebagai berikut.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika Cn, r menyatakan
banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen
dan C n, 3 = 2n, maka C2n, 7 = ....
a. 160
d. 90 b. 120
e. 80 c. 116
Soal UMPTN, Kemam- pua Dasar, 1999
102
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Untuk keperluan lomba cerdas cermat, dipilih 3 siswa dari 5 calon yang ada, yaitu Ani, Betty, Dedi, Irfan, dan Wulan. Berapa macam susunan yang dapat dipilih dari 5 calon
tersebut?
Penyelesaian:
Cara 1: Persoalan memilih 3 siswa peserta lomba cerdas cermat ini adalah persoalan
kombinasi, karena susunan Ani–Betty–Dedi sama dengan susunan Ani–Dedi–Betty urutan tidak diperhatikan. Dengan cara membuat semua susunan yang dapat terjadi,
kita memperoleh susunan sebagai berikut. 1.
Ani–Betty–Dedi 6.
Ani–Irfan–Wulan 2.
Ani–Betty–Irfan 7.
Betty–Dedi–Irfan 3.
Ani–Betty–Wulan 8.
Betty– Dedi–Wulan 4.
Ani–Dedi–Irfan 9.
Betty– Irfan–Wulan 5.
Ani–Dedi–Wulan 10. Dedi–Irfan–Wulan
Jadi, terdapat 10 susunan. Cara 2:
Dengan menggunakan rumus kombinasi, banyaknya susunan 3 unsur dari 5 unsur yang berlainan adalah
C 5, 3 =
3 5
3 5
× =
2 3
5 ×
= 1
2 1
2 3
1 2
3 4
5 ×
× ×
× ×
× ×
× = 10 susunan.
Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur r n yang
tersedia adalah C
n, r = .
r n
r n
×
Contoh:
Problem Solving
Sebuah kantong berisi 6 kelereng berwarna merah dan 4 kelereng berwarna putih. Tiga kelereng diambil sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan kelereng itu
jika kelereng yang terambil adalah a.
ketiganya berwarna merah; b.
ketiganya berwarna putih; c.
dua berwarna merah dan satu berwarna putih; d.
satu kelereng berwarna merah; e.
warnanya bebas.
