223
Turunan
b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, dibuat garis
bilangan seperti Gambar 5.13. Dari Gambar 5.13, dapat kita simpulkan bahwa titik
1, 5 merupakan titik balik maksimum sebab f x berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif,
sedangkan titik 2, 4 merupakan titik balik minimum sebab f x berubah tanda dari negatif ke nol, kemudian
ke positif.
c. Nilai maksimum fungsi adalah f1 = 5 dan nilai mini-
mum fungsi adalah f2 = 4.
O 1
2 X
1 4
Y
5 1, 5
2, 4 f
x = 2x
3
– 9x
2
+ 12x
Gambar 5.14
4. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mempelajari baik cara menentukan nilai maksimum maupun nilai minimum suatu
fungsi fx. Sekarang, jika fungsi fx terletak dalam interval tertutup, bagaimana cara menentukan nilai maksimum atau nilai
minimumnya? Untuk dapat menjawab permasalahan tersebut, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi fx = x
3
dalam interval –2 x
2.
Penyelesaian:
Grafik fungsi fx = x
3
adalah seperti di samping. Dengan memperhatikan grafik fungsi di samping, tampak
bahwa pada interval –2 x
2 nilai maksimum fungsi di atas adalah 8, yaitu untuk x = 2, sedangkan nilai minimumnya
adalah –8, yaitu untuk x = –2. Perhatikan pula bahwa nilai maksimum dalam interval
tersebut, yaitu f2 merupakan nilai fungsi pada ujung kanan interval, sedangkan nilai minimumnya, yaitu f–2,
merupakan nilai fungsi pada ujung kiri interval.
Y
X 1
O f
x = x3 8
1 2 -1
-8 -1
-2
Gambar 5.15
224
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Dengan memerhatikan contoh tersebut, dapat kita ketahui bahwa nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi pada
interval tertutup merupakan nilai fungsi pada ujung-ujung inter- val. Jadi, nilai maksimum atau minimum fungsi dalam interval
tertutup tidak selalu merupakan nilai balik maksimum atau nilai minimumnya. Hal ini dapat kita rangkum sebagai berikut.
Nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu
a. nilai-nilai stasioner fungsi nilai balik maksimum atau nilai
balik minimum; b.
nilai-nilai fungsi pada ujung interval.
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi fx = x
4
+ 4x
3
– 2x
2
– 12x + 4 pada interval –2
x 0.
Penyelesaian:
Diketahui fx = x
4
+ 4x
3
– 2x
2
– 12x + 4. Nilai-nilai fungsi pada ujung interval adalah sebagai berikut.
• f
–2 = –2
4
+ 4–2
3
– 2–2
2
– 12–2 + 4 = 16 – 32 – 8 + 24 + 4 = 4
• f
= 0
4
+ 40
3
– 20
2
– 120 + 4 = 4 Selanjutnya, turunan fungsi f adalah f x = 4x
3
+ 12x
2
– 4x – 12 = 4x
3
+ 3x
2
– x – 3. Titik stasioner terjadi jika f x = 0 sehingga
4x
3
+ 3x
2
– x – 3 = 0
x
3
+ 3x
2
– x – 3 = 0
x – 1x + 1x + 3 = 0
x = 1 atau x = –1 atau x = –3. Untuk x = 1 maka f1 = 1
4
+ 41
3
– 21
2
– 121 + 4 = –5, untuk x = –1 maka f–1 = –1
4
+ 4–1
3
– 2–1
2
– 12–1 + 4 = 11, dan untuk x = –3 maka f–3 = –3
4
+ 4–3
3
– 2–3
2
– 12–3 + 4 = –5. Oleh karena itu, titik stasionernya adalah titik 1, –5, –1, 11, dan –3, –5.
Untuk menyelidiki jenis stasioner titik-titik tersebut, dibuat garis bilangan untuk f
x = 4x – 1x + 1x + 3.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Titik belok dari fungsi y
= x
3
+ 6x
2
+ 9x + 7 adalah ....
a. –2, 3 b. –2, 7
c. –2, 5 d. 2, 10
e. 2, 5
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Contoh:
Gambar 5.16
--- +++
-3 f
x -1
+++ 1
---
Dari garis bilangan tersebut, tampak bahwa –3, –5 adalah titik balik minimum, –1, 11 merupakan titik balik maksimum, dan 1, –5 merupakan titik balik minimum. Sketsa
grafiknya tampak seperti pada Gambar 5.17.
