189
Limit Fungsi
Kerjakan di buku tugas
Penyelesaian:
a.
1
lim
A x
2x + 8 =
1
lim
A x
2x +
1
lim
A x
8 = 21 + 8 = 10 b.
4
lim
A x
2 8
x + x
=
lim lim
x x
x + x
A A
4 4
2 8
= lim
lim
x x
x +
x
A A
4 4
2 8
= 16
4 = 1
2. Dengan menggunakan teorema substitusi, tentukan nilai limit berikut.
a.
2
lim
A x
4 2
1 3
9
3 2
3
x x +
x
b.
1
lim
A x
x + x +
x +
3 2
2
2 1
1
Penyelesaian:
a.
2
lim
A x
4 2
1 3
9
3 2
3
x x +
x
= 4 2
3
22 +1 32
9
2 3
= 25
15 = 1
2 3
b.
1
lim
A x
x + x +
x +
3 2
2
2 1
1
= 1
3
+ 21 +1 1 +1
2 2
= 4
2 = 2
1. Dengan menggunakan teorema limit utama, tentukan nilai limit berikut.
a.
2
lim
A x
4x – 5 f.
1
lim
A x
x x
1 1
b.
4
lim
A x
8 – 2x g.
lim
– x
A 3
x x + x +
2 2
9 2
7 4
c.
2
lim
A x
3x + 51 – x h.
lim
x A2
x + x +
x +
2 3
3 4
1 d.
lim
A x
2 2
x +
i. lim
x
x x
x x
A
+ +
4 2
2 3
3 4
2 9
e.
1
lim
A x
1 5 – x
j. lim
x
x x
x
A
+ +
3 2
4
3 8
4
Uji Kompetensi 4
190
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
2. Dengan menggunakan teorema substitusi, tentukan nilai limit berikut.
a.
5
lim
A x
3x – 7 e.
3
lim
A x
1 3x
5 b.
3
lim
A x
2x
2
– 4x + 5 f.
2
lim
A x
x x
x + x + x +
3 2
2
10 3
2
c.
3
lim
A x
4 5
5 1
x x
g. lim
x
x x
x
A
+ +
1 2
2 1
3 4
d.
2
lim
A x
x x +
2 2
5 2
6 h.
lim
x
x x
x
A
+
1 2
2 5
E. Bentuk Limit Tak Tentu
Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah menemukan bentuk- bentuk limit seperti berikut.
1. lim
x
x x
x
A
+
4 2
20 4
2.
lim
x
x x
A
+ 2
1 5
3. lim
x
x x
A
+ 4
4 Apabila mencoba menentukan limit dengan substitusi, kalian
akan memperoleh 1.
lim
x
x x
x
A
+
4 2
20 4
= 4
2
+ 4
20 4
4 =
; 2.
lim
x
x x
A
+ 2
1 5
=
2 +
= 1
1
; 3.
lim
x
x x
A
+ 4
4 =
+ =
4 4
. Bentuk-bentuk
, , dan
– disebut bentuk tak tentu.
Bentuk-bentuk inilah yang sering ditemukan dalam penghitungan limit fungsi. Dengan cara yang telah kalian pelajari di depan, kalian
akan dapat menentukan nilai limit tersebut. Untuk menyelesaikan limit yang mempunyai bentuk tak tentu,
kalian dapat menggunakan a.
cara memfaktorkan; b.
mengalikan dengan sekawan; c.
teorema L’Hopital dipelajari pada bab selanjutnya.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
lim 9
1 9
1
x
x x
A
+
= .... a. –9
b. –3 c. 0
d. 3 e. 9
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2003
191
Limit Fungsi
Tentukan nilai limit fungsi berikut. a.
lim
x
x .
x
A 10
3
1 000 10
b.
lim
x
x x
x
A 1
2 1
3 2
1
Penyelesaian:
a. Bentuk limit ini jika dikerjakan dengan substitusi, akan diperoleh bentuk tak tentu
. Oleh karena itu, untuk menyelesaikannya digunakan pemfaktoran.
lim
x
x .
x
A 10
3
1 000 10
= lim
x
x x
x x
A
+ +
10 2
10 10
100 10
=
10
lim
A x
x
2
+ 10x + 100 = 100 + 100 + 100
= 300 b.
lim
x
x x
x
A 1
2 1
3 2
1
Bentuk ini merupakan bentuk tak tentu . Untuk menyelesaikannya, digunakan
cara mengalikan dengan sekawan.
lim
x
x x
x
A 1
2 1
3 2
1
= lim
x
x x
x x
x x
x
A
× +
+
1
2 1
3 2
1 2
1 3
2 2
1 3
2 =
lim
x
x x
x x
x
A
+
1
2 1
3 2
1 2
1 3
2
=
lim
x
x x
x x
A
+
1
1 1
2 1
3 2
= lim
x
x x
A
+
1
1 2
1 3
2 =
+ 1
1 1
= 1
2
Contoh:
Investigasi
Diskusi
Mengapa bentuk-bentuk ,
, dan disebut bentuk tak
tentu? Adakah bentuk-bentuk tak tentu yang lain?
192
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Tentukan nilai limit berikut .
1. lim
x
x x
A
+
2 2
2 4
6. lim
x
x x
x
A
+ 1
1 2.
lim
x
x x
x
A
+
2 2
2
4 3
2
7. lim
x
x x
x
A
+ +
2
2
3.
lim
x
x x
A
+ 3
2 4
2 2
8.
lim
x
x x
x x
x
A
+ + +
2 2
2
2 2
4.
lim
x
x x
x x
A
+ +
+ +
5 2
1 4
4
2 2
9. lim
x
x x
x x
A
+
1
1 3
1 2
1 5.
lim
x
x x
x
A
+
2 2
2 3
6
10.
lim
x a
x ax
a x
a ax
A 2
2 2
2
F. Mengenal Bentuk Limit yang Mengarah ke Konsep Turunan
f x
B
a +h
X a
f a+h
f a
O A
Y
f a+h
f a
x y
h h
Gambar 4.3
Misalkan fungsi f terdefinisi dalam selang a
x a + h. Fungsi f berubah dari x = a,
yaitu fa, sampai pada x = a + h, yaitu fa + h, seperti terlihat pada gambar di samping.
Pada gambar, tampak bahwa 1.
koordinat titik A adalah a, fa dan koordinat titik B adalah a + h, fa + h;
2. perubahan nilai x adalah a + h – a = h
dan perubahan nilai fungsi f adalah f
a + h – fa. Laju perubahan nilai fx pada x = a
sebesar h dapat dinyatakan dalam bentuk limit, yaitu
lim lim
lim
B A
x h
AB y
x f a
h f a
h
A A
A
= =
+ gradien
6
6 6
Konsep limit yang berbentuk lim
h
f a h
f a h
A
+ atau secara
umum berbentuk lim
h
f x h
f x h
A
+ merupakan dasar untuk me-
nentukan turunan suatu fungsi yang akan kalian pelajari pada bab berikutnya.
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
